Студенческий семинар

Мы применим разобранную теорию по мартингалам к случайным блужданиям и броуновскому движению. Также разберём задачи.

Мы начнём со свойств субмартингалов в контексте ограниченных моментов остановки. Затем сформулируем и докажем неравенство Дуба. После получим моментные неравенства.

Мы продолжим обсуждение моментов остановки. Затем мы разберём мартингальное преобразование. В конце перейдём к непрерывному времени и, если останется время, обсудим мартингальное свойство в контексте моментов остановок.

Мы закончим разбор условных математических ожиданий обсуждением регулярной условной вероятностной меры и перейдём к мартингалам. Поговорим про предсказуемость, определение мартингалов (субмартингалов) и влияние выпуклых преобразований. В конце вспомним моменты остановки.

Для того чтобы перейти к мартингалам, нам необходимо познакомиться с условным математическим ожиданием. Мы поговорим про интуицию, одну из формальных конструкций и свойства.

На семинаре мы закончим обсуждение броуновского движения следующими утверждениями: принцип отражения, теорема о совместной плотности броуновского движения и его максимума, закон арксинуса, а также приведем их доказательства. Далее поговорим об условных вероятностях и математических ожидания.

В прошлый раз мы подробно разобрали вопросы сходимости в L_2 и вопросы модификации случайных процессов. В этот раз мы перейдём к конструкции Леви для броуновского движения.

После разбора упражнений с прошлых семинаров мы продолжим рассматривать броуновское движение и его конструкции. Перейдём к конструкции через теорему существования Колмогорова с добавлением непрерывности. Разберём упражнения на тему характеристических функций. Далее обсудим конструкцию Леви.

Мы продолжим рассматривать броуновское движение и его конструкции. Вернёмся к исследованию конструкции через функции Шаудера. Покажем сходимость к броуновскому движению. Далее перейдём к конструкции через теорему существования Колмогорова с добавлением непрерывности. Ещё разберём упражнения.

В прошлый раз мы поговорили о строгих и слабых лестничных моментах и высотах. В этот раз мы, отталкиваясь от наработок, классифицируем траектории случайных блужданий с конечным средним и докажем некоторые свойства моментов прохождения фиксированного уровня

В процессах восстановления мы уже использовали некоторые свойства случайных блужданий. Теперь мы перейдём к более подробному изучений свойств траекторий случайных блужданий. Мы случае конечного математического ожидания мы поговорим о времени достижения уровней, величине перескока и супремуме случайного блуждания.

Мы начнём с доказательства локальной теоремы восстановления в неарифметическом случае, используя идеи с прошлого доклада. Затем уточним асимптотику при наличии второго момента у скачков. Затем поговорим об обрывающихся процессах восстановления.

Воспользовавшись свойствами стационарных процессов восстановления, мы докажем локальную теорему восстановления. Идея будет в построении копии нашего процесса, которая склеится или почти склеится со стационарным процессом. Для понимания такого шага мы обсудим каплинги, моменты остановки и поговорим про алгоритм Метрополиса-Гастингса.

Мы рассмотрим что такое стационарный процесс восстановления (учитывая то, что он всегда растёт) в дискретном и непрерывном времени и покажем, какое распределение должна иметь задержка, чтобы процесс восстановления был стационарным.

Мы разберём УЗБЧ и ЦПТ для чистых процессов восстановления вмете с интегральной теоремой восстановления. После перейдём к стационарным процессам восстановления.

Мы начнём разбирать процессы восстановления и их базовые свойства. В частности, мы докажем существование моментов у процессов восстановления и субаддитивность функций восстановления.

Мы докажем теорему Кингмана. При этом мы выведем полезные свойства субаддитивных (супераддитивных) стационарных последовательностей, а также приведём необходимые факты о равномерной интегрируемости, которые понадобятся при доказательстве.

Мы напомним ЗБЧ Биркхофа-Хинчина и разберём его доказательство. В частности, нам понадобится понятие стационарной субаддитивной последовательности и вспомогательные свойства для таких последовательностей. После перейдём к теореме Кингмана.

Мы напомним понятие сдвига для стационарных последовательностей, на основе которого обсудим инвариантные события и понятие эргодичности (метрической транзитивности). После этого мы сформулируем ЗБЧ Биркхофа-Хинчина и постараемся разобрать его доказательство.

Мы введём понятие стационарных последовательностей случайных величин и исследуем порождаемые ими сигма-алгебры (в частности, остаточную сигма-алгебру). Также мы введём преобразование сдвига для стационарной последовательности, на основе которого обсудим инвариантные события и понятие эргодичности.

Аневризма брюшной аорты (АБА) - это серьезное и потенциально смертельное заболевание, характеризующееся патологическим расширением брюшной аорты, крупнейшей артерии организма. Это состояние ослабляет стенки аорты и может привести к разрыву аневризмы и летальному исходу. Изучение механизма формирования аневризмы и поиск предикторов быстрого роста АБА имеют критическое значение для разработки эффективных стратегий лечения. В последнее время появилось множество работ по анализу пространственной взаимосвязи между очагами атеросклероза, морфологией и гемодинамикой аневризмы. Однако не существует стандартизированной статистической методологии для количественного сравнения этих распределений. Оценка пространственной взаимосвязи гемодинамики, морфологии и скорости локального роста аневризмы аорты осложняется наличием пространственной автокорреляции распределений, при которой соседние участки аорты обладают сходными свойствами и не являются независимыми, и использованием агрегированных данных, что искусственно завышает коэффициенты корреляции. В докладе предлагается обсудить возможные подходы к оценке статистической значимости связи между биомедицинскими распределениями на примере наших результатов по аневризме брюшной аорты.

В прошлый раз обсудили определение и пример применения QQ plots. Теперь мы рассмотрим как с помощью QQ plots можно понять является ли выборка тяжелохвостной, поймем как оценивать параметр распределения в этом случае. В конце рассмотрим пример исследования поисковых запросов на тяжелохвостность с помощью QQ plots.

Мы обсудим определение QQ plots, поймем как их строить и делать выводы из графиков. Мы рассмотрим как с помощью QQ plots можно понять является ли выборка тяжелохвостной, поймем как оценивать параметр распределения в этом случае. В конце рассмотрим пример исследования поисковых запросов на тяжелохвостность с помощью QQ plots.

На докладе мы продолжим разбор монографии S.Resnick, разберём как может себя вести оценка Хилла при различных распределениях выборки, в частности когда оценка параметра хвоста плохо себя ведёт. Рассмотрим некоторые модификации и перейдём к оценке Пикандса, как возможную альтернативу.

На докладе мы продолжим разбор монографии S.Resnick, напомним определение оценки Хилла и разберём доказательство её состоятельности.

На докладе мы разберем идею бутстрэп метода для произвольной статистики, докажем т.н. ЦПТ для выборочного среднего бутстрэп выборки, поймём три основных способа построение бутстрэп доверительных интервалов. После этого мы вернемся к монографии S.Resnick и попробуем применить данный метод для аппроксимации распределения эмпирического точечного процесса, и поймём, что метод работает не всегда.

На семинаре будут рассмотрены некоторые общие подходы к обработке данных, использующие рассмотренную ранее теорию тяжелых хвостов. В частности, будет введена оценка Хилла, понятие "превышений уровня" в данных и связанного с ними метода POT (peaks over threshold), а также хвостовая эмпирическая мера.

На семинаре мы продолжим разбор связи RV и vague сходимости, а также разберем некоторые задачи на смежные темы. После мы перейдем к рассмотрению оценок хвоста распределения на практике.

На семинаре мы покажем методы доказательства сходимостей на основании некоторых начальных приближений. Далее мы обсудим построение сходимостей в декартовом произведении пространств.

Мы введём определение меры Радона и считающих мер. Затем введём определение vague convergence и исследуем некоторые его свойства.

Мы начнем с определения слабой сходимости распределений и их свойств. Разберём метрическое пространство Скорохода и сходимость мер Радона.

Мы начнем с напоминания определения и базовых свойств правильно меняющихся функций. Вспомним представление Карамата. Далее мы обсудим дифференцирование правильно меняющихся функций, и разберем ряд технических утверждений. В зависимости от оставшегося времени, порешаем задачи.

На семинаре мы продолжим говорить о модели Блэка-Шоулза-Мертона, в частности поговорим о том, как из мартингальных соображений прийти к формуле Блэка-Шоулза. Разберем пример, в котором найдем цену репликации call опциона, используя теорему Гирсанова. Затем поговорим о том, почему на реальных рынках модель Блэка-Шоулза не применима для нахождения цен реплицируемых обязательств и как, в таком случае, ее можно использовать на практике. В конце семинара, поговорим о греках - характеристиках, позволяющих понять чувствительность цены деривативов к изменению параметров модели. Если останется время, затронем возможные расширения модели Блэка-Шоулза-Мертона.

На семинаре мы повторим формулу Фейнмана-Каца и связанные с ней теоремы, для лучшего понимания, прорешаем несколько примеров. Познакомимся с теоремой Гирсанова и теоремой о мартингальном представлении, которые пригодятся нам в дальнейшем. Затем перейдем к модели рынка с рисковым активом, цена которого моделируется геометрическим броуновским движением. В оставшееся время, в рамках данной модели введем уравнение Блэка-Шоулза.

На семинаре будет введено понятие обобщенного случайного графа со случайными весами вершин, и разобрана статья с доказательством теоремы о предельном распределении числа треугольников в таком графе. Будет показано, что при устремлении числа вершин к бесконечности, имеет место сходимость к распределению Пуассона с параметром, связанным с первым и вторым моментами весов вершин.

На прошлом семинаре мы повторили базу винеровских процессов и интеграла Ито. Данный семинар будет посвящён стохастическим дифференциальным уравнениям(СДУ) и формуле Фейнмана-Каца, с помощью которой устанавливается связь между решениями некоторой задачи Коши и СДУ. Описанная выше теория будет подкреплена содержательными примерами, играющими важную роль в финансовой математике.

Этот семинар является продолжением разбора курса <Введение в финансовую математику>, читавшегося М.В. Житлухиным в <Институте "Вега">. На семинаре мы продолжим изучение интегралов Ито, перейдя к процессам Ито. Будет дано определение интеграла по этим процессам, а также выведена формула Ито в более общем виде. Оставшаяся часть семинара будет посвящена стохастическим дифференциальным уравнениям(СДУ) и формуле Фейнмана-Каца, с помощью которой устанавливается связь между решениями некоторой задачи Коши и СДУ. Описанная выше теория будет подкреплена содержательными примерами, играющими важную роль в финансовой математике.

В докладе будет продолжен разбор второй главы книги S.Resnick . Мы начнём со взаимосвязи сходимости максимума случайных величин и правильного изменения правого хвоста распределения. Разберём представление Карамата для медленно и правильно меняющихся функций. В зависимости от оставшегося времени, мы разберём полезные технические утверждения и порешаем задачи по теме.

В докладе будет начат разбор второй главы книги S.Resnick ''Heavy-tail phenomena. Probabilistic and statistical modelling''. Мы разберём определение и базовые свойства правильно меняющихся функций и квантильных преобразований. Мы вспомним сходимость максимума случайных величин в контексте правильного изменения.

В докладе будет введено понятие точечного процесса Пуассона, а также базовые понятия теории Пальма. Будут сформулированы и доказаны теоремы Сливняка и Меке, выражающие свойство, характеризующее пуассоновские процессы.

На семинаре мы разберём некоторые факты из теории случайных процессов, необходимые для дальнейшего изучения курса. В частности, определим классы измеримых процессов, Винеровский процесс и разберем несколько примеров.

На семинаре мы рассмотрим предельный переход от биномиальной многошаговой модели рынка к модели рынка с непрерывным временем. Также, мы разберём некоторые факты из теории случайных процессов, необходимые для дальнейшего изучения курса.

Мы продолжим говорить о фундаментальных теоремах расчета финансовых активов и рассмотрим доказательство первой теоремы с помощью преобразования Эшера. Также мы обсудим понятие безарбитражных цен и полных рынков.

На семинаре мы рассмотрим несколько примеров мартингалов, обсудим их применение на многошаговой биномиальной модели. Затем рассмотрим фундаментальные теоремы финансовой математики и попробуем применить к некоторым моделям в дискретном времени.

На семинаре мы продолжим рассматривать математический аппарат, необходимый для построения общей многошаговой модели рынка. Мы дадим определение и сформулируем простейшие свойства условного математического ожидания, а также обсудим основные положения теории мартингалов.

Семинар будет посвящён рассмотрению математических оснований общей многошаговой модели рынка, которая является обобщением рассмотренной ранее биномиальной модели Кокса – Росса – Рубинштейна. Мы дадим определение и сформулируем простейшие свойства условного математического ожидания, а также обсудим основные положения теории мартингалов.

На семинаре мы продолжим рассмотрение биномиальной одношаговой модели рынка. Мы наложим ограничения на коэффициенты этой модели, но уже не из условия отсутствия арбитража, а из соображений риск-нейтральных вероятностей, и найдём справедливые цены для ранее введенных активов. Затем мы перейдём к рассмотрению многошаговой модели Кокса – Росса – Рубинштейна. Для этой модели мы выведем условие на отсутствие арбитража и формулу для вычисления риск-нейтральных вероятностей, а также установим связь между этими понятиями. Мы обсудим некоторые фундаментальные концепции рассматриваемой теории и научимся определять справедливые цены производных инструментов.

В докладе будут рассмотрены основные понятия конечных цепей Маркова, краткое введение в генетику и применение цепей Маркова в генетике на конкретном примере. Так, скрещивание растений и последующий выбор новой (случайной) пары из потомства можно трактовать как цепь Маркова. В качестве состояний мы рассмотрим возможные комбинации "родителей", а вероятности перехода возьмем из законов генетики и предположения о способе выбора родителей. Будет обсуждаться количество поколений, за которое можно получить чистую породу, а также вероятность получения чистой породы конкретного вида.

Основным объектом нашего внимания станет биномиальная модель рынка за одну единицу времени. Мы обсудим основные идеи на примере этой простой модели, а затем перенесём их на многошаговый случай, а именно, на модель Кокса – Росса – Рубинштейна. Для этой модели мы выведем условие на отсутствие арбитража и формулу для вычисления риск-нейтральных вероятностей, а также установим связь между этими понятиями. Мы обсудим некоторые фундаментальные концепции рассматриваемой теории и научимся определять справедливые цены производных инструментов.

На семинаре будет рассказано о полумонетах. Полумонеты, в отличие от обычных монет, имеют бесконечное число сторон, пронумерованных неотрицательными целыми числами. Стороны с чётным номером выпадают с отрицательной вероятностью, а подбрасывание двух полумонет равносильно подбрасыванию одной обычной монеты. На примере полумонет мы обсудим интерпретацию отрицательных вероятностей.

На семинаре мы обсудим основные принципы работы разработанной нами baseline-модели ранжирования микрофинансовых организаций для компании "Все займы онлайн". Также мы поговорим о придуманном нами способе моделирования поведения клиента и сравним две различные модели ранжирования.

Мы поговорим об устройстве лотерей и о возможности выигрыша в них. Обсудим случай одной лотереи в США, на которой можно было существенно заработать. Ответим на вопрос: "а причём тут современная математика?"

Будет рассказано о некоторых особенностях естественных языков, с помощью которых настоящие тексты можно отличить от подделок, а также о методе, который планируется использовать для статистического решения этого вопроса. Метод основан на представлении текста как реализации цепи Маркова.

На семинаре мы продолжим погружаться в теорию экстремальных значений. В первую очередь, мы обсудим результаты теоремы Фишера – Типпета – Гнеденко и подискутируем о некоторых распределениях и их принадлежности максимальной области притяжения. Затем мы выведем оценку Хилла для степенного индекса и начнем обсуждать ее статистические свойства: состоятельность и асимптотическую нормальность. В конце семинара мы поймем, почему возникает ненулевое смещение в свойстве асимптотической нормальности оценки.

На семинаре мы обсудим теорему Фишера – Типпета – Гнеденко, которая является основой теории экстремальных значений, познакомимся с правильно меняющимися распределениями, выведем оценку экстремального индекса правильно меняющегося распределения и покажем, в каких случаях оценка будет асимптотически нормальна с определенным смещением.

При формировании финансового портфеля естественным образом возникает потребность в оценке возможных потерь. В таком случае релевантно использовать такой инструмент, как меры риска. При этом прогноз должен быть наиболее правдоподобным, поэтому используются только "хорошие" в некотором смысле меры риска, которые мы и обсудим на семинаре. Мы введём отдельный класс мер риска, обладающих свойством т.н. "выявляемости", обсудим их свойства, а также поймём, какие из популярных мер риска (VaR, CVaR) попадают во введённый класс.

Мы рассмотрим основные понятия глубокого обучения и специфику работы нейронных сетей. Кроме того, мы обсудим, в каких задачах применяются методы глубокого обучения, а также более подробно разберем их применение к анализу текстов, в особенности, к определению их тональности.

При формировании финансового портфеля естественным образом возникает потребность в оценке возможных потерь. В таком случае релевантно использовать такой инструмент, как меры риска. При этом прогноз должен быть наиболее правдоподобным, поэтому используются только "хорошие" в некотором смысле меры риска, которые мы и обсудим на семинаре. Мы введём отдельный класс мер риска, обладающих свойством т.н. "выявляемости", обсудим их свойства, а также поймём, какие из популярных мер риска (VaR, CVaR) попадают во введённый класс.

При формировании финансового портфеля естественным образом возникает потребность в оценке возможных потерь. В таком случае релевантно использовать такой инструмент, как меры риска. При этом прогноз должен быть наиболее правдоподобным, поэтому используются только "хорошие" в некотором смысле меры риска, которые мы и обсудим на семинаре. Мы введём отдельный класс мер риска, обладающих свойством т.н. "выявляемости", обсудим их свойства, а также поймём, какие из популярных мер риска (VaR, CVaR) попадают во введённый класс.

Дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Данный статистический метод был придуман Р. А. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий получения максимального урожая различных сортов сельскохозяйственных культур, что служит одним из примеров его применения. На семинаре мы рассмотрим только однофакторный дисперсионный анализ, а точнее как он определяется и какие задачи можно решать с его помощью.

На семинаре мы рассмотрим EM-алгоритм для решения задач со скрытыми переменными. Мы обсудим его вероятностную постановку, а также его применение на примере задачи разделения смеси распределений и метода главных компонент.

Мы обсудим основы теории копул - определения, примеры, свойства, а также задачи, в которых они могут применяться.

В классических моделях ветвящихся случайных процессов размножение особей происходит независимо друг от друга и от численности популяции в данный момент. Такая модель прекрасно работает для популяции бактерий, но не может работать для популяции растений, где имеет место опыление, успех которого зависит от численности популяции. Мы попытаемся решить такую задачу.

Семинар будет посвящён графовым моделям Интернета. В частности, мы обсудим, откуда взялось утверждение о том, что любые два человека связаны через 5 знакомств.

Семинар является продолжением прошлого семинара. В первой части будет рассмотрен алгоритм Метрополиса – Гастингса сэмплирования из распределений с плотностью, известной с точностью до умножения на константу. Далее будут сделаны шаги в сторону обоснования сходимости алгоритма. В этой части будут введены некоторые положения теории цепей Маркова с конечным пространством состояний, а также сформулированы некоторые теоремы о сходимости к стационарному распределению и рассмотрены примеры.

Мы докажем теорему Крофтона и проиллюстрируем её на примере задачи о встрече.