Семинар организован студентами кафедры теории вероятностей и математической статистики в 2018 году. На нём мы разбираем популярные книги и статьи, рассказываем о своих научных достижениях. Это "рабочий" семинар: мы стараемся вникать в доказательства и разбирать примеры. Вопросы слушателей максимально приветствуются: основная цель семинара состоит в том, чтобы каждый участник (включая докладчика) понимал происходящее. Доклады должны быть доступны широкому ряду слушателей, знакомых с основным курсом теории вероятностей. Семинар длится 1.5-2 часа. Будем рады новым участникам.
26 ноября
А.В. Храмов
Функция восстановления в неарифметическом случае
Мы начнём с доказательства локальной теоремы восстановления в неарифметическом случае, используя идеи с прошлого доклада. Затем уточним асимптотику при наличии второго момента у скачков. Затем поговорим об обрывающихся процессах восстановления.
19 ноября
Т.В. Прасолов
Локальная теорема восстановления
Воспользовавшись свойствами стационарных процессов восстановления, мы докажем локальную теорему восстановления. Идея будет в построении копии нашего процесса, которая склеится или почти склеится со стационарным процессом. Для понимания такого шага мы обсудим каплинги, моменты остановки и поговорим про алгоритм Метрополиса-Гастингса.
12 ноября
Т.В. Ускова
Стационарные процессы восстановления
Мы рассмотрим что такое стационарный процесс восстановления (учитывая то, что он всегда растёт) в дискретном и непрерывном времени и покажем, какое распределение должна иметь задержка, чтобы процесс восстановления был стационарным.
5 ноября
Э.К. Сатниязова
Предельные теоремы для процессов восстановления
Мы разберём УЗБЧ и ЦПТ для чистых процессов восстановления вмете с интегральной теоремой восстановления. После перейдём к стационарным процессам восстановления.
29 октября
В.И. Никитина
Введение в процессы восстановления
Мы начнём разбирать процессы восстановления и их базовые свойства. В частности, мы докажем существование моментов у процессов восстановления и субаддитивность функций восстановления.
22 октября
М.Д. Токарева
Теорема Кингмана
Мы докажем теорему Кингмана. При этом мы выведем полезные свойства субаддитивных (супераддитивных) стационарных последовательностей, а также приведём необходимые факты о равномерной интегрируемости, которые понадобятся при доказательстве.
15 октября
А.М. Кабаева
ЗБЧ Биркхофа-Хинчина и теорема Кингмана
Мы напомним ЗБЧ Биркхофа-Хинчина и разберём его доказательство. В частности, нам понадобится понятие стационарной субаддитивной последовательности и вспомогательные свойства для таких последовательностей. После перейдём к теореме Кингмана.
8 октября
И.Е. Вдовин
Эргодичность и ЗБЧ Биркхофа-Хинчина
Мы напомним понятие сдвига для стационарных последовательностей, на основе которого обсудим инвариантные события и понятие эргодичности (метрической транзитивности). После этого мы сформулируем ЗБЧ Биркхофа-Хинчина и постараемся разобрать его доказательство.
1 октября
А.В. Храмов
Стационарные последовательности
Мы введём понятие стационарных последовательностей случайных величин и исследуем порождаемые ими сигма-алгебры (в частности, остаточную сигма-алгебру). Также мы введём преобразование сдвига для стационарной последовательности, на основе которого обсудим инвариантные события и понятие эргодичности.
15 апреля
Я.В. Федотова
Статистический анализ биомедицинских распределений. Как оценить статистическую значимость пространственной корреляции между различными свойствами аорты?
Аневризма брюшной аорты (АБА) - это серьезное и потенциально смертельное заболевание, характеризующееся патологическим расширением брюшной аорты, крупнейшей артерии организма.
Это состояние ослабляет стенки аорты и может привести к разрыву аневризмы и летальному исходу. Изучение механизма формирования аневризмы и поиск предикторов быстрого роста АБА имеют критическое значение для разработки эффективных стратегий лечения.
В последнее время появилось множество работ по анализу пространственной взаимосвязи между очагами атеросклероза, морфологией и гемодинамикой аневризмы. Однако не существует стандартизированной статистической методологии для количественного сравнения этих распределений. Оценка пространственной взаимосвязи гемодинамики, морфологии и скорости локального роста аневризмы аорты осложняется наличием пространственной автокорреляции распределений, при которой соседние участки аорты обладают сходными свойствами и не являются независимыми, и использованием агрегированных данных, что искусственно завышает коэффициенты корреляции.
В докладе предлагается обсудить возможные подходы к оценке статистической значимости связи между биомедицинскими распределениями на примере наших результатов по аневризме брюшной аорты.
18 марта
И.Е. Вдовин
QQ plots.
В прошлый раз обсудили определение и пример применения QQ plots. Теперь мы рассмотрим как с помощью QQ plots можно понять является ли выборка тяжелохвостной, поймем как оценивать параметр распределения в этом случае.
В конце рассмотрим пример исследования поисковых запросов на тяжелохвостность с помощью QQ plots.
11 марта
И.Е. Вдовин
QQ plots.
Мы обсудим определение QQ plots, поймем как их строить и делать выводы из графиков. Мы рассмотрим как с помощью QQ plots можно понять является ли выборка тяжелохвостной, поймем как оценивать параметр распределения в этом случае.
В конце рассмотрим пример исследования поисковых запросов на тяжелохвостность с помощью QQ plots.
4 марта
Т.В. Прасолов
Слабости оценки Хилла и альтернативы.
На докладе мы продолжим разбор монографии S.Resnick, разберём как может себя вести оценка Хилла при различных распределениях выборки, в частности когда оценка параметра хвоста плохо себя ведёт.
Рассмотрим некоторые модификации и перейдём к оценке Пикандса, как возможную альтернативу.
19 февраля
А.В. Храмов
Состоятельность оценки Хилла.
На докладе мы продолжим разбор монографии S.Resnick, напомним определение оценки Хилла и разберём доказательство её состоятельности.
12 февраля
Е.И. Прокопенко
Работает ли бутстрэп метод для оценивания распределения экстремальных элементов выборки?
На докладе мы разберем идею бутстрэп метода для произвольной статистики, докажем т.н. ЦПТ для выборочного среднего бутстрэп выборки, поймём три основных способа построение бутстрэп доверительных интервалов.
После этого мы вернемся к монографии S.Resnick и попробуем применить данный метод для аппроксимации распределения эмпирического точечного процесса, и поймём, что метод работает не всегда.
12 декабря
Г. В. Кривцов
Статистические приложения правильно меняющихся распределений.
На семинаре будут рассмотрены некоторые общие подходы к обработке данных, использующие рассмотренную ранее теорию тяжелых хвостов.
В частности, будет введена оценка Хилла, понятие "превышений уровня" в данных и связанного с ними метода POT (peaks over threshold), а также хвостовая эмпирическая мера.
5 декабря
Т. В. Ускова
Связь слабой и нечёткой сходимостей.
На семинаре мы продолжим разбор связи RV и vague сходимости, а также разберем некоторые задачи на смежные темы. После мы перейдем к рассмотрению оценок хвоста распределения на практике.
28 ноября
Н.А. Смирнова
Свойства слабой сходимости.
На семинаре мы покажем методы доказательства сходимостей на основании некоторых начальных приближений. Далее мы обсудим построение сходимостей в декартовом произведении пространств.
21 ноября
С.С. Петренко
Сходимость мер Радона
Мы введём определение меры Радона и считающих мер. Затем введём определение vague convergence и исследуем некоторые его свойства.
14 ноября
А.А. Тарасенко
Слабая сходимость распределений.
Мы начнем с определения слабой сходимости распределений и их свойств. Разберём метрическое пространство Скорохода и сходимость мер Радона.
7 ноября
Е.В. Ефремов
Введение в правильно меняющиеся функции.
Мы начнем с напоминания определения и базовых свойств правильно меняющихся функций. Вспомним представление Карамата.
Далее мы обсудим дифференцирование правильно меняющихся функций, и разберем ряд технических утверждений. В зависимости от оставшегося времени, порешаем задачи.
31 октября
В. Е. Веселов
Введение в финансовую математику.
На семинаре мы продолжим говорить о модели Блэка-Шоулза-Мертона, в частности поговорим о том, как из мартингальных соображений прийти к формуле Блэка-Шоулза. Разберем пример, в котором найдем цену репликации call опциона, используя теорему Гирсанова.
Затем поговорим о том, почему на реальных рынках модель Блэка-Шоулза не применима для нахождения цен реплицируемых обязательств и как, в таком случае, ее можно использовать на практике. В конце семинара, поговорим о греках - характеристиках, позволяющих понять чувствительность цены деривативов к изменению параметров модели. Если останется время, затронем возможные расширения модели Блэка-Шоулза-Мертона.
24 октября
В. Е. Веселов
Введение в финансовую математику.
На семинаре мы повторим формулу Фейнмана-Каца и связанные с ней теоремы, для лучшего понимания, прорешаем несколько примеров. Познакомимся с теоремой Гирсанова и теоремой о мартингальном представлении, которые пригодятся нам в дальнейшем. Затем перейдем к модели рынка с рисковым активом, цена которого моделируется геометрическим броуновским движением. В оставшееся время, в рамках данной модели введем уравнение Блэка-Шоулза.
17 октября
С. В. Греф
Предельные распределения числа треугольников в обобщённых случайных графах.
На семинаре будет введено понятие обобщенного случайного графа со случайными весами вершин, и разобрана статья с доказательством теоремы о предельном распределении числа треугольников в таком графе. Будет показано, что при устремлении числа вершин к бесконечности, имеет место сходимость к распределению Пуассона с параметром, связанным с первым и вторым моментами весов вершин.
10 октября
Б. Т. Бэк
Введение в финансовую математику.
На прошлом семинаре мы повторили базу винеровских процессов и интеграла Ито. Данный семинар будет посвящён стохастическим дифференциальным уравнениям(СДУ) и формуле Фейнмана-Каца, с помощью которой устанавливается связь между решениями некоторой задачи Коши и СДУ. Описанная выше теория будет подкреплена содержательными примерами, играющими важную роль в финансовой математике.
3 октября
Б. Т. Бэк
Введение в финансовую математику.
Этот семинар является продолжением разбора курса <Введение в финансовую математику>, читавшегося М.В. Житлухиным в <Институте "Вега">. На семинаре мы продолжим изучение интегралов Ито, перейдя к процессам Ито. Будет дано определение интеграла по этим процессам, а также выведена формула Ито в более общем виде. Оставшаяся часть семинара будет посвящена стохастическим дифференциальным уравнениям(СДУ) и формуле Фейнмана-Каца, с помощью которой устанавливается связь между решениями некоторой задачи Коши и СДУ. Описанная выше теория будет подкреплена содержательными примерами, играющими важную роль в финансовой математике.
26 сентября
А. В. Храмов
Введение в правильно меняющиеся функции.
В докладе будет продолжен разбор второй главы книги S.Resnick . Мы начнём со взаимосвязи сходимости максимума случайных величин и правильного изменения правого хвоста распределения. Разберём представление Карамата для медленно и правильно меняющихся функций. В зависимости от оставшегося времени, мы разберём полезные технические утверждения и порешаем задачи по теме.
19 сентября
И. Е. Вдовин
Введение в правильно меняющиеся функции.
В докладе будет начат разбор второй главы книги S.Resnick ''Heavy-tail phenomena. Probabilistic and statistical modelling''. Мы разберём определение и базовые свойства правильно меняющихся функций и квантильных преобразований. Мы вспомним сходимость максимума случайных величин в контексте правильного изменения.
11 мая
Г. В. Кривцов
Теория Пальма и характеризация пуассоновских процессов.
В докладе будет введено понятие точечного процесса Пуассона, а также базовые понятия теории Пальма. Будут сформулированы и доказаны теоремы Сливняка и Меке, выражающие свойство, характеризующее пуассоновские процессы.
4 мая
В. Е. Веселов
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
На семинаре мы разберём некоторые факты из теории случайных процессов, необходимые для дальнейшего изучения курса. В частности, определим классы измеримых процессов, Винеровский процесс и разберем несколько примеров.
27 апреля
В. Е. Веселов
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
На семинаре мы рассмотрим предельный переход от биномиальной многошаговой модели рынка к модели рынка с непрерывным временем. Также, мы разберём некоторые факты из теории случайных процессов, необходимые для дальнейшего изучения курса.
20 апреля
А. А. Тарасенко
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
Мы продолжим говорить о фундаментальных теоремах расчета финансовых активов и рассмотрим доказательство первой теоремы с помощью преобразования Эшера. Также мы обсудим понятие безарбитражных цен и полных рынков.
13 апреля
А. Е. Лукьянов
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
На семинаре мы рассмотрим несколько примеров мартингалов, обсудим их применение на многошаговой биномиальной модели. Затем рассмотрим фундаментальные теоремы финансовой математики и попробуем применить к некоторым моделям в дискретном времени.
6 апреля
П. И. Тесемников
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
На семинаре мы продолжим рассматривать математический аппарат, необходимый для построения общей многошаговой модели рынка. Мы дадим определение и сформулируем простейшие свойства условного математического ожидания, а также обсудим основные положения теории мартингалов.
30 марта
П. И. Тесемников
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
Семинар будет посвящён рассмотрению математических оснований общей многошаговой модели рынка, которая является обобщением рассмотренной ранее биномиальной модели Кокса – Росса – Рубинштейна. Мы дадим определение и сформулируем простейшие свойства условного математического ожидания, а также обсудим основные положения теории мартингалов.
23 марта
Б. Т. Бэк
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
На семинаре мы продолжим рассмотрение биномиальной одношаговой модели рынка. Мы наложим ограничения на коэффициенты этой модели, но уже не из условия отсутствия арбитража, а из соображений риск-нейтральных вероятностей, и найдём справедливые цены для ранее введенных активов.
Затем мы перейдём к рассмотрению многошаговой модели Кокса – Росса – Рубинштейна. Для этой модели мы выведем условие на отсутствие арбитража и формулу для вычисления риск-нейтральных вероятностей, а также установим связь между этими понятиями. Мы обсудим некоторые фундаментальные концепции рассматриваемой теории и научимся определять справедливые цены производных инструментов.
16 марта
Е. А. Булгакова
Про цепи Маркова и генетику.
В докладе будут рассмотрены основные понятия конечных цепей Маркова, краткое введение в генетику и применение цепей Маркова в генетике на конкретном примере. Так, скрещивание растений и последующий выбор новой (случайной) пары из потомства можно трактовать как цепь Маркова. В качестве состояний мы рассмотрим возможные комбинации "родителей", а вероятности перехода возьмем из законов генетики и предположения о способе выбора родителей. Будет обсуждаться количество поколений, за которое можно получить чистую породу, а также вероятность получения чистой породы конкретного вида.
9 марта
Б. Т. Бэк
Разбор лекций курса "Введение в финансовую математику" от фонда "Институт "Вега".
Основным объектом нашего внимания станет биномиальная модель рынка за одну единицу времени. Мы обсудим основные идеи на примере этой простой модели, а затем перенесём их на многошаговый случай, а именно, на модель Кокса – Росса – Рубинштейна. Для этой модели мы выведем условие на отсутствие арбитража и формулу для вычисления риск-нейтральных вероятностей, а также установим связь между этими понятиями. Мы обсудим некоторые фундаментальные концепции рассматриваемой теории и научимся определять справедливые цены производных инструментов.
2 марта
Е. В. Ефремов
О полумонетах и отрицательных вероятностях.
На семинаре будет рассказано о полумонетах. Полумонеты, в отличие от обычных монет, имеют бесконечное число сторон, пронумерованных неотрицательными целыми числами. Стороны с чётным номером выпадают с отрицательной вероятностью, а подбрасывание двух полумонет равносильно подбрасыванию одной обычной монеты. На примере полумонет мы обсудим интерпретацию отрицательных вероятностей.
16 февраля
В. Е. Веселов
Вероятностный алгоритм ранжирования МФО для онлайн-агрегатора "Все займы онлайн".
На семинаре мы обсудим основные принципы работы разработанной нами baseline-модели ранжирования микрофинансовых организаций для компании "Все займы онлайн". Также мы поговорим о придуманном нами способе моделирования поведения клиента и сравним две различные модели ранжирования.
9 февраля
Е. И. Прокопенко
Можно ли почти наверное заработать полмиллиарда рублей на лотерее?
Мы поговорим об устройстве лотерей и о возможности выигрыша в них. Обсудим случай одной лотереи в США, на которой можно было существенно заработать. Ответим на вопрос: "а причём тут современная математика?"
27 декабря
А. С. Попов
Проверка текста на подлинность с помощью статистики Хмелёва.
Будет рассказано о некоторых особенностях естественных языков, с помощью которых настоящие тексты можно отличить от подделок, а также о методе, который планируется использовать для статистического решения этого вопроса. Метод основан на представлении текста как реализации цепи Маркова.
П. И. Тесемников
Рассказ о конференции "6-th St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics".
13 декабря
А. Е. Лукьянов
Введение в теорию экстремальных значений и оценивание степенного индекса.
На семинаре мы продолжим погружаться в теорию экстремальных значений. В первую очередь, мы обсудим результаты теоремы Фишера – Типпета – Гнеденко и подискутируем о некоторых распределениях и их принадлежности максимальной области притяжения. Затем мы выведем оценку Хилла для степенного индекса и начнем обсуждать ее статистические свойства: состоятельность и асимптотическую нормальность. В конце семинара мы поймем, почему возникает ненулевое смещение в свойстве асимптотической нормальности оценки.
6 декабря
А. Е. Лукьянов
Введение в теорию экстремальных значений и оценивание степенного индекса.
На семинаре мы обсудим теорему Фишера – Типпета – Гнеденко, которая является основой теории экстремальных значений, познакомимся с правильно меняющимися распределениями, выведем оценку экстремального индекса правильно меняющегося распределения и покажем, в каких случаях оценка будет асимптотически нормальна с определенным смещением.
29 ноября
Б. Т. Бэк
О выявляющих мерах риска.
При формировании финансового портфеля естественным образом возникает потребность в оценке возможных потерь. В таком случае релевантно использовать такой инструмент, как меры риска. При этом прогноз должен быть наиболее правдоподобным, поэтому используются только "хорошие" в некотором смысле меры риска, которые мы и обсудим на семинаре. Мы введём отдельный класс мер риска, обладающих свойством т.н. "выявляемости", обсудим их свойства, а также поймём, какие из популярных мер риска (VaR, CVaR) попадают во введённый класс.
Е. Э. Матвеева
Основные понятия глубокого обучения и некоторые примеры его применения.
Мы рассмотрим основные понятия глубокого обучения и специфику работы нейронных сетей. Кроме того, мы обсудим, в каких задачах применяются методы глубокого обучения, а также более подробно разберем их применение к анализу текстов, в особенности, к определению их тональности.
22 ноября
Б. Т. Бэк
О выявляющих мерах риска.
При формировании финансового портфеля естественным образом возникает потребность в оценке возможных потерь. В таком случае релевантно использовать такой инструмент, как меры риска. При этом прогноз должен быть наиболее правдоподобным, поэтому используются только "хорошие" в некотором смысле меры риска, которые мы и обсудим на семинаре. Мы введём отдельный класс мер риска, обладающих свойством т.н. "выявляемости", обсудим их свойства, а также поймём, какие из популярных мер риска (VaR, CVaR) попадают во введённый класс.
15 ноября
Б. Т. Бэк
О выявляющих мерах риска.
При формировании финансового портфеля естественным образом возникает потребность в оценке возможных потерь. В таком случае релевантно использовать такой инструмент, как меры риска. При этом прогноз должен быть наиболее правдоподобным, поэтому используются только "хорошие" в некотором смысле меры риска, которые мы и обсудим на семинаре. Мы введём отдельный класс мер риска, обладающих свойством т.н. "выявляемости", обсудим их свойства, а также поймём, какие из популярных мер риска (VaR, CVaR) попадают во введённый класс.
8 ноября
А. Д. Шелепова
Однофакторный дисперсионный анализ.
Дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Данный статистический метод был придуман Р. А. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий получения максимального урожая различных сортов сельскохозяйственных культур, что служит одним из примеров его применения. На семинаре мы рассмотрим только однофакторный дисперсионный анализ, а точнее как он определяется и какие задачи можно решать с его помощью.
1 ноября
Д. Ю. Цыбульский
EM-алгоритм и его применения.
На семинаре мы рассмотрим EM-алгоритм для решения задач со скрытыми переменными. Мы обсудим его вероятностную постановку, а также его применение на примере задачи разделения смеси распределений и метода главных компонент.
27 мая
А. А. Трушин
Многомерная линейная регрессия.
20 мая
А. А. Трушин
Статистические методы в генетике.
6 мая
А. А. Тарасенко
Основы теории копул.
Мы обсудим основы теории копул - определения, примеры, свойства, а также задачи, в которых они могут применяться.
29 апреля
А. Богданов (Санкт-Петербург)
Динамика популяции при зависимом размножении.
В классических моделях ветвящихся случайных процессов размножение особей происходит независимо друг от друга и от численности популяции в данный момент. Такая модель прекрасно работает для популяции бактерий, но не может работать для популяции растений, где имеет место опыление, успех которого зависит от численности популяции. Мы попытаемся решить такую задачу.
22 апреля
А. Е. Лукьянов
Разбор книги "Statistical Consequences of Fat Tails: Real World Preasymptotics, Epistemology, and Applications" (N. Taleb).
15 апреля
Д. В. Дудукалов
Разбор курса лекций "Stochastic Geometry and Wireless Networks" (F. Baccelli, B. Blaszczyszyn).
Е. И. Прокопенко
Разбор курса лекций "Contact processes" (N. S. Loto).
П. И. Тесемников
Разбор курса лекций "Signature Method in Machine Learning" (I. Chevyrev).
18 марта
Т. Р. Куснатдинов
Стохастические характеристики Интернета.
Семинар будет посвящён графовым моделям Интернета. В частности, мы обсудим, откуда взялось утверждение о том, что любые два человека связаны через 5 знакомств.
25 февраля
М. А. Струлёва
Введение в Quantitative Risk Management.
18 февраля
Д. Ю. Цыбульский
Вероятностные методы в теории чисел.
1 февраля
А. Д. Шелепова
Рассказ о конференции "St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics" (Санкт-Петербург, 21-24 декабря 2021).
21 декабря
Е. И. Прокопенко
Разбор книги "Statistical Consequences of Fat Tails: Real World Preasymptotics, Epistemology, and Applications" (N. Taleb).
14 декабря
Отчёт о работе в осеннем семестре студентов бакалавриата 4 курса:
М. А. Братенков, науч. рук. П. С. Рузанкин;
Е. В. Ефремов, науч. рук. А. В. Логачёв;
Т. Р. Куснатдинов, науч. рук. С. Г. Фосс. П. И. Тесемников;
И. Ю. Резник, науч. рук. Т. В. Прасолов;
И. А. Смирнов, науч. рук. А. П. Ковалевский;
Д. Ю. Цыбульский, науч. рук. С. Г. Фосс. П. И. Тесемников.
7 декабря
А. Е. Лукьянов
Разбор книги "Statistical Consequences of Fat Tails: Real World Preasymptotics, Epistemology, and Applications" (N. Taleb).
23 ноября
Дискуссия на тему "Применение модели линейной регрессии в реальной жизни".
16 ноября
Дискуссия на тему "Применение модели линейной регрессии в реальной жизни".
2 ноября
Р. С. Ишков
Разбор первой лекции А. И. Саханенко в рамках "Осенней Вероятностной Школы 2021".
26 октября
Р. С. Ишков
Разбор первой лекции А. И. Саханенко в рамках "Осенней Вероятностной Школы 2021."
5 октября
И. А. Смирнов
Обзор методов теории вероятностей в машинном обучении.
21 сентября
П. И. Тесемников
Основы метода Штейна.
14 сентября
А. Д. Шелепова
Разбор заключительной лекции А. В. Логачёва в рамках "Летней Вероятностной Школы 2021".
7 сентября
А. Д. Шелепова
Разбор заключительной лекции А. В. Логачёва в рамках "Летней Вероятностной Школы 2021".
28 мая
И. А. Смирнов, Т. Р. Куснатдинов, Д. Ю. Цыбульский, Р. С. Ишков, Е. В. Ефремов, М. А. Братенков
Представление курсовых работ студентов третьего курса кафедры ТВиМС.
П. И. Тесемников
Введение в Markov chain Monte Carlo, часть 3.
На семинаре мы завершим обзор основных MCMC методов, которым были посвящены два последних семинара. Мы обсудим вопрос эргодичности цепи Маркова в алгоритме Метрополиса – Гастингса, рассмотрим алгоритмы RWMHA и сэмплирования по Гиббсу и приведем некоторые примеры. Наконец, мы обсудим простейшие способы уменьшения погрешности для байесовских оценок, полученных с помощью MCMC методов.
Т. Р. Куснатдинов
Введение в Markov chain Monte Carlo, часть 2.
Семинар является продолжением прошлого семинара. В первой части будет рассмотрен алгоритм Метрополиса – Гастингса сэмплирования из распределений с плотностью, известной с точностью до умножения на константу. Далее будут сделаны шаги в сторону обоснования сходимости алгоритма. В этой части будут введены некоторые положения теории цепей Маркова с конечным пространством состояний, а также сформулированы некоторые теоремы о сходимости к стационарному распределению и рассмотрены примеры.
2 апреля
И. А. Смирнов
Введение в Markov chain Monte Carlo.
Семинар будет посвящён задачам рандомизации. Мы рассмотрим различные методы генерации случайных величин, обсудим некоторые задачи статистического моделирования, а также напомним основные положения теории цепей Маркова. Эти темы являются подготовительными к Markov chain Monte Carlo методам.
П. И. Тесемников
Введение в байесовскую статистику.
Семинар будет посвящён основным понятиям и положениям байесовской статистики. На простых примерах мы поймём, откуда возникает так называемая "байесовская постановка", и чем она отличается от классической частотной, а также обсудим ключевые этапы решения некоторых задач с точки зрения байесовской статистики.
Мы введем новый объект, скрытые марковские модели (hidden Markov models, HMM), рассмотрим ситуации, в которых они возникают, а также сформулируем и решим три основные задачи для таких моделей.
П. И. Тесемников
Тесты на случайность. Тесты, основанные на длине самой длинной серии.
Мы продолжим изучение тестов на случайность и рассмотрим статистический критерий, основанный на длине самой длинной серии в последовательности элементов двух типов. Затем мы построим критерий случайности временного ряда, используя так называемые "растущие" и "убывающие" серии.
А. Д. Шелепова
Тесты на случайность. Тесты, основанные на общем количестве серий.
На семинаре мы продолжим разбирать книгу Дж. Д. Гиббонс и С. Чакраборти "Nonparametric Statistical Inference". Предполагая, что основная гипотеза случайности истинна, мы найдём моменты и дисперсию общего числа серий в последовательности элементов двух типов и его предельное распределение. На основании этого мы построим статистический критерий, различающий основную гипотезу случайности и альтернативную гипотезу неслучайности элементов данной последовательности.
А. О. Мокроусова, А. Д. Шелепова
Общие понятия статистики. Тесты на случайность. Тесты, основанные на общем количестве серий.
В первой части семинара мы обсудим основные понятия теории проверки гипотез. Затем мы перейдём к разбору книги Дж. Д. Гиббонс и С. Чакраборти "Nonparametric Statistical Inference". Мы найдем распределение общего числа серий для последовательности элементов двух типов в предположении, что основная гипотеза случайности выполнена.
Д. В. Дудукалов
Энтропия и пересчёт. Разбор лекций D. Galvin "Three tutorial lectures on entropy and counting."
Мы аксиоматически введём понятие меры "удивления" и докажем, что этим аксиомам удовлетворяет единственная функция. Мы введём понятие энтропии и установим связь энтропии и пересчёта. Мы рассмотрим основные свойства энтропии, полезные для задач пересчёта, и продемонстрируем стандартный способ энтропийного рассуждения на примере оценки биномиальных коэффициентов.
М. А. Струлёва
Разбор статьи G. K. Shyam, S. S. Manvi "Virtual resource prediction in cloud environment: a Bayesian approach".
11 декабря
А. А. Анцифорова
Разбор статьи L. Dűmbgen, J. A. Wellner "The density ratio of Poisson binomial versus Poisson distribution".
4 декабря
Е. Э. Матвеева
Разбор статьи E. Jenelius, H. N. Koutsopoulos "Urban network travel time prediction based on a probabilistic principal component analysis model of probe data".
27 ноября
А. В. Резлер
Разбор статьи S. Foss, D. Kim, A. Turlikov "Stability and instability of a random multiple access model with adaptive energy harvesting".
20 ноября
А. О. Мокроусова
Разбор статьи T. Verdebout "On the efficiency of some rank-based test for the homogeneity of concentrations".
13 ноября
Е. Э. Матвеева
Подготовка к научно-популярному семинару по теме "Вероятностные распределения".
6 ноября
Д. В. Дудукалов
Разбор статьи P. A. Ferrari и L. T. Rolla "Slow-to-Start Traffic Model: Consideration, Saturation and Scaling Limits".
16 октября
Д. В. Дудукалов, М. А. Струлёва
Решение задач по теме второй лекции Аяльвади Ганеша в рамках школы "Fall School in Advanced Probability 2020". Видео семинара.
13 октября
М. А. Струлёва
Решение задач по теме второй лекции Аяльвади Ганеша в рамках школы "Fall School in Advanced Probability 2020". Видео семинара.
2 октября
Д. В. Дудукалов
Продолжение разбора второй лекции Аяльвади Ганеша в рамках школы "Fall School in Advanced Probability 2020". Видео семинара.
25 сентября
Е.И. Прокопенко, М. А. Струлёва, П. И. Тесемников
Разбор второй лекции Аяльвади Ганеша в рамках школы "Fall School in Advanced Probability 2020".
Мы обсудим определения и основные свойства марковских процессов с непрерывным временем, а затем перейдем к разбору второй лекции в рамках осенней школы.
П. И. Тесемников
Разбор первой лекции Фрезера Дэли, посвященной методу Штейна.
24 апреля
Т. В. Прасолов
Разбор лекции С. Г. Фосса "Метод точного моделирования выборки из неизвестного стационарного распределения цепи Маркова.".
18 апреля
Т. В. Прасолов
Разбор лекции С. Г. Фосса "Метод обновлений А.А. Боровкова для стохастически рекурсивных последовательностей и его взаимосвязь с харрисовыми цепями Маркова.".
10 апреля
Т. В. Прасолов
Разбор лекции С. Г. Фосса "Каплинг-сходимость случайных величин и характеризационные теоремы Х. Ториссона".
3 апреля
Е. И. Прокопенко
Разбор статьи M. Kratz (2014) "Normex, a new method for evaluating the distribution of aggregated heavy tailed risks".
Мы рассмотрим новый метод аппроксимации суммы н.о.р. случайных величин с распределением Парето и докажем неравенство типа Берри – Эссеена. Покажем, что при конечности второго момента и отсутствии третьего, метод "Normex" имеет более быструю скорость сходимости, чем стандартная ЦПТ.
П. И. Тесемников
Асимптотика самой правой точки ветвящегося случайного блуждания при наличии тяжелых хвостов распределений.
На семинаре мы обсудим свойства ветвящихся процессов в меняющейся среде, для которых выполнено условия прекращения ветвления в некоторый, вообще говоря, случайный момент времени. Для таких ветвящихся процессов мы изучим асиптотику хвоста распределения самой правой точки соответствующего ветвящегося случайного блуждания за конечное случайное число поколений, а также во всех поколениях, предполагая, что приращения блуждания имеют тяжелый правый хвост.
А. А. Бондаренко
Разбор стаьи "Asymptotic properties of Turing's formula in relative error", Michael Grabchak and Zhiyi Zhang.
Д. В. Дудукалов
Геометрическая вероятность.
Мы докажем теорему Крофтона и проиллюстрируем её на примере задачи о встрече.
6 марта
П. И. Тесемников
Метод Штейна для пуассоновской аппроксимации. Разбор книги Нейтана Росса "Fundamentals of Stein's method" (параграфы 4-4.2.1).
Мы перейдём к рассмотрению метода Штейна для пуассоновской аппроксимации. Мы рассмотрим утверждения, лежащие в основе этого метода, докажем так называемый закон малых чисел для случайных величин, имеющих локальные зависимости, а также обсудим его приложения к биологии.
П. И. Тесемников
Несмещенный каплинг и его применения в методе Штейна. Разбор книги Нейтана Росса "Fundamentals of Stein's method" (параграфы 3.5-3.6.1).
Мы рассмотрим основные свойства несмещенного каплига и докажем на его основе ЦПТ Линдеберга. Затем, мы обсудим применение метода Штейна для нормальной аппроксимации в метрике Колмогорова и, в качестве следствия, получим оценку погрешности аппроксимации для сумм независимых ограниченных случайных величин.
Д. В. Дудукалов
Метод Штейна для нормальной аппроксимации. Разбор книги Нейтана Росса "Fundamentals of Stein's method" (параграфы 3.2-3.2.1).
Мы рассмотрим обобщение метода Штейна на случай сумм случайных величин, имеющих локальные зависимости, и применим результат для оценки числа треугольников в случайном графе Эрдёша – Реньи.
М. А. Струлева
Метод Штейна для нормальной аппроксимации: основные определения и утверждения. Разбор книги Нейтана Росса "Fundamentals of Stein's method" (параграфы 1.1-3.1).
Мы обсудим основную идею метода Штейна, несколько основополагающих для метода Штейна утверждений и простой пример его использования (для нормальной аппроксимации суммы независимых случайных величин).
Т. В. Прасолов
Субгауссовские случайные величины и случайные величины с тонкими хвостами распределений. Разбор книги Романа Вершинина "High-Dimensional Probability. An Introduction with Applications in Data Science" (глава 2, параграфы 7-8).
Мы рассмотрим класс случайных величин с тонкими хвостами распределений, обсудим его характерные свойства, а также связь таких случайных величин с субгауссовскими. В завершение второй главы мы приведем неравенства концентрации для таких случайных величин. (Автор называет такие случайные величины субэкспоненциальными, что идет вразрез с общепринятым пониманием этого термина).
Т. В. Прасолов
Субгауссовские случайные величины. Разбор книги Романа Вершинина "High-Dimensional Probability. An Introduction with Applications in Data Science" (глава 2, параграфы 5-6).
Мы будем заниматься изучением класса субгауссовских случайных величин (хвосты которых убывают не медленнее хвостов нормального распределения). В частности, мы приведем доказательство теоремы об эквивалентных определениях субгауссовских случайных величин, исследуем вопрос замкнутости этого класса по сложению и обсудим обобщенное неравенство Хёфдинга для таких случайных величин.
Т. В. Прасолов
Концентрация сумм независимых случайных величин. Разбор книги Романа Вершинина "High-Dimensional Probability. An Introduction with Applications in Data Science" (глава 2, параграфы 1-4).
Мы обсудим различные результаты, связанные с неравенствами концентрации для сумм независимых случайных величин: неравенство Хёфдинга, различные варианты неравенства Чернова, а также их приложения к случайным графам Эрдёша - Реньи.
