next up previous index
Next:  Критерии согласия: критерий Колмогорова   Up:  Оглавление   Previous:  Построение оптимальных критериев

8.   Критерии согласия

Критериями согласия называют критерии, предназначенные для проверки простой гипотезы $H_1=\{\mathscr F=\mathscr F_1\}$ при сложной альтернативе $H_2=\{H_1\textrm{ неверна}\}$. Мы рассмотрим более широкий класс основных гипотез, включающий и сложные гипотезы, а критериями согласия будем называть любые критерии, устроенные по одному и тому же принципу. А именно, пусть задана некоторая функция отклонения эмпирического распределения от теоретического, распределение которой существенно разнится в зависимости от того, верна или нет основная гипотеза. Критерии согласия принимают или отвергают основную гипотезу исходя из величины этой функции отклонения.

Итак, имеется выборка ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$ из распределения $\mathscr F$. Мы сформулируем ряд понятий для случая простой основной гипотезы, а в дальнейшем будем их корректировать по мере изменения задачи. Проверяется простая основная гипотеза $H_1=\{\mathscr F=\mathscr F_1\}$ при сложной альтернативе $H_2=\{\mathscr F\ne\mathscr F_1\}$.

K1.
Пусть возможно задать функцию $\rho({\mathbf X})$, обладающую свойствами:

а)
если гипотеза $H_1$ верна, то $\rho({\mathbf X})\Rightarrow G$, где $G$ — непрерывное распределение;
б)
если гипотеза $H_1$ неверна, то $\lvert\rho({\mathbf X})\rvert \buildrel {p} \over \longrightarrow \infty$ при $n\to\infty$.
K2.
Пусть такая функция $\rho({\mathbf X})$ задана. Для случайной величины $\eta$ из распределения $G$ определим постоянную $C$ из равенства $\varepsilon={\mathsf P}\,(\lvert\eta\rvert\geqslant C)$.

Построим критерий:

\begin{equation} \delta({\mathbf X})=\begin{cases} H_1, & \textrm{если }\lvert\... ...extrm{если }\lvert\rho({\mathbf X})\rvert\geqslant C. \end{cases}\end{equation}(22)

Мы построили критерий согласия. Он «работает» по принципу: если для данной выборки функция отклонения велика (по абсолютному значению), то это свидетельствует в пользу альтернативы, и наоборот. Убедимся в том, что этот критерий имеет (асимптотический) размер $\varepsilon$ и является состоятельным.

Определение 29.

Говорят, что критерий $\delta$ для проверки простой гипотезы $H_1$ является критерием асимптотического размера $\varepsilon$, если его размер приближается к $\varepsilon$ с ростом $n$:

\begin{displaymath} \alpha_1(\delta)= {\mathsf P}\,{\!}_{H_1}(\delta({\mathbf X})\ne H_1)\to\varepsilon \end{displaymath}  при  $n\to\infty$.


Поскольку альтернатива $H_2$ всегда является сложной, то, как мы уже отмечали в замечании 16, вероятность ошибки второго рода любого критерия $\delta$ есть функция $\alpha_2(\delta,\mathscr F_2)$ от конкретного распределения $\mathscr F_2$ из списка возможных альтернатив $\{\mathscr F_2~:~\mathscr F_2\ne\mathscr F_1\}$. Или, при ином виде основной гипотезы, из числа распределений, отвечающих альтернативе $H_2$.


Определение 30.

Критерий $\delta$ для проверки гипотезы $H_1$ против сложной альтернативы $H_2$ называется состоятельным, если для любого распределения $F_2$, отвечающего альтернативе $H_2$, вероятность ошибки второго рода стремится к нулю с ростом объема выборки:

\begin{displaymath} \alpha_2(\delta,\mathscr F_2)= {\mathsf P}\,{\!}_{\mathscr F_2}(\delta({\mathbf X})=H_1) \to 0 \end{displaymath}  при  $n\to\infty$.


Свойство 10.

Для критерия $\delta$, заданного в (22), при $n\to\infty$:

1.
$\alpha_1(\delta)={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}\!\left(\lvert\rho({\mathbf X})\rvert\g... ... C\right)\to {\mathsf P}\,\left(\lvert\eta\rvert\geqslant C\right)=\varepsilon$;
2.
$\alpha_2(\delta,\mathscr F_2)= {\mathsf P}\,{\!}_{\mathscr F_2}\!\left(\lvert\rho({\mathbf X})\rvert < C\right)\to 0$ для любого распределения $\mathscr F_2$, отвечающего $H_2$.
Иначе говоря, построенный критерий имеет асимптотический размер $\varepsilon$ и состоятелен.


Упражнение.    Доказать свойство 10.

Указание.    По определению, запись $\xi_n \buildrel {p} \over \longrightarrow \infty$ означает, что для любого $C\gt 0$

\begin{displaymath} {\mathsf P}\,(\xi_n < C)\to 0\textrm{ при }n\to\infty.\end{displaymath}


Замечание.    Если вместо «$\rho({\mathbf X})\Rightarrow G$» в K1(а) выполняется «$\rho({\mathbf X})$ имеет распределение $G$», то критерий (22) будет иметь точный размер $\varepsilon$.



N.I.Chernova
9 сентября 2002