next up previous index
Next:  Критерии согласия: критерий Пирсона   Up:  Критерии согласия   Previous:  Критерии согласия

8.1.   Критерии согласия: критерий Колмогорова

Имеется выборка ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$ из распределения $\mathscr F$. Проверяется простая гипотеза $H_1=\{\mathscr F=\mathscr F_1\}$ против сложной альтернативы $H_2=\{\mathscr F\ne\mathscr F_1\}$. В том случае, когда распределение $\mathscr F_1$ имеет непрерывную функцию распределения $F_1$, можно пользоваться критерием Колмогорова. Пусть

\begin{displaymath} \rho({\mathbf X})=\sqrt{n}\,\sup\limits_y \lvert F_n^*(y)-F_1(y)\rvert.\end{displaymath}

Покажем, что $\rho({\mathbf X})$ удовлетворяет условиям K1(a,б).

а)
Если $H_1$ верна, то $X_i$ имеют распределение $\mathscr F_1$. По теореме Колмогорова $\rho({\mathbf X})\Rightarrow \eta$, где $\eta$ имеет распределение с функцией распределения Колмогорова.
б)
Если гипотеза $H_1$ неверна, то $X_i$ имеют какое-то распределение $\mathscr F_2$, отличное от $\mathscr F_1$. По теореме Гливенко — Кантелли $F_n^*(y) \buildrel {p} \over \longrightarrow F_2(y)$ для любого $y$ при $n\to\infty$. Поскольку $\mathscr F_1\ne\mathscr F_2$, найдется $y_0$ такое, что $\lvert F_2(y_0)-F_1(y_0)\rvert\gt$. Но

\begin{displaymath} \sup_y \lvert F_n^*(y)-F_1(y)\rvert \geqslant \lvert F_n^*(y... ...el {p} \over \longrightarrow \lvert F_2(y_0)-F_1(y_0)\rvert\gt.\end{displaymath}

Умножая на $\sqrt{n}$, получим при $n\to\infty$, что \( \rho({\mathbf X})=\sqrt{n}\,\sup_y \lvert F_n^*(y)-F_1(y)\rvert \buildrel {p} \over \longrightarrow \infty. \)

Рис. 9: График функции $K(y)$

\begin{figure} \unitlength=.6mm \begin{picture} (77,53)(0,-8) \put(1,59){\makebo... ... $y$}} %\put(0,0){ \includegraphics [scale=1.5]{kolm} }\end{picture}\end{figure}

Пусть случайная величина $\eta$ имеет распределение с функцией распределения Колмогорова

\begin{displaymath} K(y)=\sum_{j=-\infty}^{\infty} (-1)^j e^{-2j^2 y^2}, \quad y\gt.\end{displaymath}

Это распределение табулировано, так что по заданному $\varepsilon$ легко найти $C$ такое, что $\varepsilon={\mathsf P}\,(\eta\geqslant C)$.

Критерий Колмогорова выглядит так:

\begin{displaymath} \delta({\mathbf X})=\begin{cases} H_1, & \textrm{если }\rho... ..._2, & \textrm{если }\rho({\mathbf X})\geqslant C. \end{cases} \end{displaymath}


N.I.Chernova
9 сентября 2002