Гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией

Next: Гипотеза о среднем нормальной совокупности Up: Критерии согласия Previous: Критерий Стьюдента

8.8. Гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией

Имеется выборка ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$ из нормального распределения ${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$ с известной дисперсией $\sigma^2$ . Проверяется простая гипотеза $H_1=\{a = a_0\}$ против сложной альтернативы $H_2=\{a \neq a_0\}$ .

Построим критерий точного размера $\varepsilon$ с помощью функции отклонения $\rho({\mathbf X})$

$\begin{displaymath} \rho({\mathbf X})=\sqrt{n} \dfrac{\overline X-a_0}{\sigma}.\end{displaymath}$

Очевидно свойство K1(a): если верна, то $\rho({\mathbf X})$ имеет стандартное нормальное распределение.

Упражнение. Доказать свойство K1(б): если $a\neq a_0$ , то $\lvert\rho({\mathbf X})\rvert \buildrel {p} \over \longrightarrow \infty$ .

По $\varepsilon$ выберем $C=\tau_{1-\varepsilon/2}$ — квантиль стандартного нормального распределения. Тогда

$\begin{displaymath} \varepsilon={\mathsf P}\,\!_{H_1}(\lvert \rho({\mathbf X})\rvert \geqslant C).\end{displaymath}$

Критерий выглядит как все критерии согласия:

$\begin{equation} \delta({\mathbf X})=\begin{cases} H_1, & \textrm{если }\lvert\... ...extrm{если }\lvert\rho({\mathbf X})\rvert\geqslant C. \end{cases}\end{equation}$ (28)

Упражнение. Доказать, что этот критерий имеет точный размер $\varepsilon$ и является состоятельным.

Упражнение. Построить критерий для различения трех гипотез: $H_1=\{a = a_0\}$ , $H_2=\{a < a_0\}$ и $H_3=\{a \gt a_0\}$ .

N.I.Chernova 9 сентября 2002