Критерий часто применяют для проверки гипотезы о виде распределения, т.е. о принадлежности распределения выборки некоторому параметрическому семейству. Имеется выборка из неизвестного распределения . Проверяется сложная гипотеза
где неизвестный параметр (скалярный или векторный), его размерность.
Пусть разбито на интервалов группировки , и -- число элементов выборки, попавших в . Но вероятность теперь зависит от неизвестного параметра .
Функция отклонения (23) также зависит от неизвестного
параметра , и использовать ее в критерии Пирсона нельзя
мы не можем вычислить ее значение:
(24) |
(25) |
Условие K1(a) (при выполнении некоторых условий относительно гладкости )(*) обеспечивается теоремой (R. Fisher, 1924), которую мы доказывать не будем:
Если верна гипотеза , и размерность параметра (вектора) , то при фиксированном и при
где есть -распределение с степенями свободы.
Условие K1(б) выполнено, если, скажем, рассматривать альтернативные распределения такие, что ни при каких набор вероятностей не совпадает с .
Построим критерий .
Пусть случайная величина имеет распределение . По заданному найдем такое, что .
Критерий согласия имеет такой же вид, как все критерии согласия:
Замечания 19, 20 о количестве интервалов разбиения остаются в силе.
Оценку , минимизирующую функцию , нельзя заменить на оценку максимального правдоподобия для , построенную по выборке , , . При такой замене предельное распределение величины
а) уже не равно , а совпадает с распределением величины
где все независимы и имеют распределение , а коэффициенты , вообще говоря, отличны от 0 и 1 (H.Chernoff, E.Lehmann, 1954);
б) зависит от .
Почувствуйте разницу:
Оценку , минимизирующую функцию , можно получить как оценку максимального правдоподобия для , построенную по вектору , , из полиномиального распределения. Функция правдоподобия имеет вид
Вычисление точки максимума по такой функции в общем случае возможно лишь численно, равно как и вычисление точки минимума функции .
N.I.Chernova
(*) Все непрерывны по ; ранг матрицы равен .