next up previous index
Next:  Исследование статистической зависимости   Up:  Критерии согласия   Previous:  Гипотеза о среднем нормальной

8.10.   Критерии, основанные на доверительных интервалах

Имеется выборка ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$ из семейства распределений $\mathscr F_\theta$. Проверяется простая гипотеза $H_1=\{\theta=\theta_0\}$ против сложной альтернативы $H_2=\{\theta\neq\theta_0\}$.

Пусть имеется точный (асимптотически точный) доверительный интервал $(\theta^-,\theta^+)$для параметра $\theta$ уровня доверия $1-\varepsilon$. Взяв произвольное $\theta'$, для выборки из распределения $\mathscr F_{\theta'}$ имеем

\begin{displaymath}
{\mathsf P}\,{\!}_{\theta'}(\theta^-< \theta' < \theta^+)=
1-\varepsilon \quad (\textcolor{blue}{\to 1-\varepsilon}).\end{displaymath}

Тогда критерий

\begin{displaymath}
\delta({\mathbf X})=\begin{cases}
 H_1, & \textrm{если }\the...
 ... \textrm{если }\theta_0\not\in(\theta^-, \theta^+)
 \end{cases}\end{displaymath}

имеет точный (асимптотический) размер $\varepsilon$. Действительно,

\begin{displaymath}
\alpha_1(\delta)={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}(\delta{=}H_2)=
{\ma...
 ...\,\theta^+)=\varepsilon 
({\textcolor{blue}{\to \varepsilon}}).\end{displaymath}

Если доверительный интервал строится с помощью «функции отклонения» $G({\mathbf X},\theta)$, то эта же функция годится и в качестве «функции отклонения» $\rho({\mathbf X})$ для построения критерия согласия.

Пример 33.

Посмотрим на критерий (28). Основная гипотеза $H_1$ принимается, только если $\lvert\rho({\mathbf X})\rvert<C=\tau_{1-\varepsilon/2}$, что равносильно неравенству

\begin{displaymath}
\left\lvert\sqrt{n}\, \dfrac{\overline X-a_0}{\sigma}\right\...
 ...<
\overline X + \dfrac{\tau_{1-\varepsilon/2}\sigma}{\sqrt{n}}.\end{displaymath}

Сравните то, что получилось, с точным доверительным интервалом (13) для параметра $a$ нормального распределения с известной дисперсией.



N.I.Chernova
9 сентября 2002