next up previous contents index
Next:  Доказательство ЗБЧ Хинчина   Up:  Характеристические функции   Previous:  Примеры вычисления

§ 2. Свойства характеристических функций

(Ф1). Характеристическая функция всегда существует:

Доказательство. Воспользуемся свойством , равносильным неравенству :

QED

(Ф2). По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Т.е. если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают.
Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения, и она находится по формуле

Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.

(Ф3). Характеристическая функция случайной величины связана с характеристической функцией случайной величины равенством:

Пример 65. Вычислим характеристическую функцию случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами и . Мы знаем, что у стандартизованной случайной величины характеристическая функция равна . Тогда характеристическая функция величины равна

(Ф4). Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины и независимы, то, по свойству (E7) математических ожиданий

Замечание 29. Чтобы характеристическая функция суммы случайных величин распадалась в произведение их характеристических функций, попарной независимости слагаемых не хватит. То же самое можно сказать про свойство (E7) математических ожиданий.
Замечательным свойством (Ф4) мы сразу же воспользуемся, как обещали, для доказательства леммы 5, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.
Доказательство леммы 5. Пусть и независимы. Характеристическая функция их суммы равна

Видим, что характеристическая функция суммы есть характеристическая функция нормального распределения с параметрами и . Следовательно, по свойству (Ф2).

QED

Доказательство лемм 3, 4, 7. Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения, распределения Пуассона и гамма-распределения, используя характеристические функции из примеров 59 — 63.

Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона и  характеристическая функция суммы

равна характеристической функции распределения Пуассона .

Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями и характеристическая функция суммы

равна характеристической функции биномиального распределения с параметрами и .

Для независимых (в совокупности) случайных величин с показательным распределением характеристическая функция суммы

равна характеристической функции гамма-распределения .

QED

(Ф5). Пусть существует момент порядка случайной величины , т.е. . Тогда характеристическая функция непрерывно дифференцируема раз, и её -я производная в нуле связана с моментом порядка равенством:

Существование и непрерывность -й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.
Упражнение 56. Доказать, что для случайной величины со стандартным нормальным распределением момент чётного порядка равен

Доказать по определению, что все моменты нечётных порядков стандартного нормального распределения существуют и равны нулю.

Как только появились производные высших порядков, самое время разложить функцию в ряд Тейлора(1).
(Ф6). Пусть существует момент порядка случайной величины , т.е. . Тогда характеристическая функция в окрестности точки  разлагается в ряд Тейлора

Ряды Тейлора бывают особенно полезны в теории пределов. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем, и это свойство — последняя теорема, оставленная нами без доказательства.
Теорема 40   (теорема о непрерывном соответствии(2)). Случайные величины слабо сходятся к случайной величине тогда и только тогда, когда для любого характеристические функции сходятся к характеристической функции .
Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами функций распределения со слабой сходимостью и характеристических функций со сходимостью в каждой точке. «Непрерывность» этого соответствия — в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом другом классе.

Осталось воспользоваться теоремой о непрерывном соответствии и доказать ЗБЧ в форме Хинчина и ЦПТ.


1Brook Taylor (18.08.1685 — 29.12.1731, England)

2Paul Pierre Lévy (15.09.1886 — 15.12.1971, France)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N.Ch.