- E1.
- Для произвольной борелевской функции
Доказательство.
Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения.
Пусть
принимает значения
с вероятностями
![](img816.gif)
![](img1054.gif)
Тогда
QED
Следствие 10.
Математическое ожидание
существует тогда и только тогда, когда
.
![](img155.gif)
![](img1057.gif)
Доказательство.
Условием существование математического ожидания является
абсолютная сходимость ряда или интеграла
в определениях 42 и 43.
По свойству (E1) это и есть условие
при
.
![](img1058.gif)
![](img1059.gif)
QED
Доказательство.
Пусть случайные величины
и
имеют дискретные распределения со значениями
и
соответственно.
Для борелевской функции
можно доказать свойство, аналогичное (E1) (сделать это!).
Воспользуемся этим свойством для
:
![](img155.gif)
![](img156.gif)
![](img1064.gif)
![](img1065.gif)
![](img973.gif)
![](img1066.gif)
QED
- E5.
- Если
п.н., т.е. если
, то
.
Упражнение 42.
Доказать для дискретного и для абсолютно непрерывного распределений.
Замечание 18.
Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1».
По определению, математическое ожидание это числовая характеристика распределения. Распределение
же не изменится от изменения случайной величины на множестве нулевой вероятности.
Поэтому, например, даже если
не при всех
, а на множестве единичной вероятности,
математическое ожидание
всё равно неотрицательно.
![](img1071.gif)
![](img62.gif)
![](img155.gif)
- E6.
- Если
п.н., и при этом
, то
п.н., т.е.
.
Доказательство. Это свойство мы докажем, заранее предполагая, что
имеет дискретное распределение
с неотрицательными значениями
. Равенство
означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности
нулевые, кроме вероятности,
соответствующей значению
.
![](img155.gif)
![](img1075.gif)
![](img1076.gif)
![](img96.gif)
![](img1077.gif)
QED
Из свойств (E5) и (E6) вытекает множество полезных
утверждений:
- E7.
- Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
если
и
независимы и их математические ожидания существуют, то
Доказательство. В дискретном случае:
QED
Замечание 19.
Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенства
не следует независимость величин
и
.
![](img1086.gif)
![](img155.gif)
![](img156.gif)
Пример 34.
Пусть
принимает значения 0 и
с вероятностями по 1/3 каждое,
и
. Это зависимые случайные величины:
![](img155.gif)
![](img1087.gif)
![](img1088.gif)
Однако и
, поэтому
.
Пример 35.
Пусть
, и пусть
и
заведомо зависимые случайные величины (доказать!).
Но математическое ожидание их произведения
равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений
,
и
относительно нуля. Действительно, по свойству
(E1) имеем:
![](img1091.gif)
![](img1092.gif)
![](img1093.gif)
![](img155.gif)
![](img156.gif)
![](img1094.gif)
N.Ch.