next up previous contents index
Next:  Характеристические функции   Up:  Центральная предельная теорема   Previous:  Предельная теорема Муавра 

§ 5. Примеры использования ЦПТ

Пример 57. Задача из примера 55. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценим вероятность того, что частота выпадения герба отличается от половины на одну сотую или более.

Решение. Требуется найти , где , — число выпадений герба, а — независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Вычислим вероятность дополнительного события. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии .

Искомая вероятность примерно равна 0,0456:

Центральной предельной теоремой пользуются для приближённого вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределённых величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?
Упражнение 54. Какие ещё предельные теоремы для схемы Бернулли вы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти её. Какова погрешность пуассоновского приближения? Вычислить её. Объяснить, исходя из полученной величины, почему теорема Пуассона не применима в задаче из примера 57.
В примере 57 мы вычислили искомую вероятность тоже не точно, а приближённо — взгляните на равенство «» и спросите себя: насколько мы ошиблись? Стоит ли доверять ответу «0,0456»? Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.
Теорема 39   (неравенство Берри — Эссеена). В условиях ЦПТ для любого и для любого распределения

Замечание 28. Про постоянную известно, что:

а) в общем случае не превышает 0,7655,

б) погрешность приближения наиболее велика, если слагаемые имеют распределение Бернулли. Как показывают численные расчёты, даже в этом случае можно смело брать в качестве число 0,4, особенно при малых , когда и это значение постоянной даёт слишком грубую оценку.

Подробный обзор можно найти в монографии В.М.Золотарева «Современная теория суммирования независимых случайных величин», стр. 264-291.

Продолжение примера 57. Проверьте, что для случайной величины с распределением Бернулли

Поэтому разница между левой и правой частями приближённого равенства «» в примере 57 при и не превышает величины

так что искомая вероятность не больше, чем 0,0456 + 0,004. Уместно сравнить этот ответ с оценкой, полученной с помощью ЗБЧ в примере 55.

Следующая проблема связана с распространённейшим среди студентов заблуждением, которое выглядит так: при

но уже

Пример 58. Пусть — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией , — сумма первых случайных величин. При каких имеет или не имеет место сходимость

Решение. Согласно ЗБЧ, последовательность сходится по вероятности, а, следовательно, и слабо, к .

Слабая сходимость означает, что последовательность функций распределения сходится к функции распределения , если непрерывна в точке (и ничего не означает, если разрывна в точке ). Но

есть функция распределения вырожденного закона и непрерывна в любой точке , кроме .

Итак, первый вывод: сходимость имеет место для любого , кроме, возможно, .

Убедимся, что для такой сходимости быть не может. Согласно ЦПТ,

тогда как . Аналогично, кстати, ведёт себя и вероятность . Она тоже стремится к 1/2, а не к .

И изящное упражнение на ту же тему:
Упражнение 55. Доказать, что

Указание. Каждый из интегралов равен значению в некоторой точке функции распределения суммы независимых случайных величин с каким-то показательным распределением. Вспомнить, что такое гамма-распределение и что такое «устойчивость относительно суммирования».


N.Ch.