Пример 55. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценим вероятность того, что частота выпадения герба отличается от половины более чем на 0,01.

Требуется оценить , где , — число выпадений герба, а — независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение Бернулли с параметром 1/2 и равна единице, если при соответствующем подбрасывании выпал герб, и нулю иначе. Поскольку , искомая оценка сверху выглядит так:

Иначе говоря, неравенство Чебышёва позволяет заключить, что в среднем не более чем в четверти случаев при 10000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 на одну сотую или больше. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 56. Пусть — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной , а ковариации любых двух и   (), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Воспользуемся подходящим неравенством в (24) и свойством 14:

(26)

Но при по условию для . Следовательно, все ковариации в равенстве (26) равны нулю, кроме, может быть, , , ...,  (их ровно штука).

Оценим каждую из них, используя тот факт, что коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы:

Получаем, что последовательность удовлетворяет ЗБЧ, так как