next up previous contents index
Next:  Функции от двух случайных   Up:  Многомерные распределения   Previous:  Роль совместного распределения

§ 5. Независимость случайных величин

Определение 37. Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств , ...,  имеет место равенство:

Определение 38. Случайные величины называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.
Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.
Замечание 16. Независимость случайных величин в совокупности влечёт попарную независимость. Достаточно в определении независимости в качестве нескольких борелевских множеств взять числовую прямую .
Пример 29. Вспомним пример Бернштейна. Свяжем с событиями , и случайные величины , и  — индикаторы этих событий. Например, , если произошло, и , если не произошло. Случайные величины , и независимы попарно (проверить), но зависимы в совокупности:

Попарная независимость случайных величин встречается редко. Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин «независимы», будет подразумеваться независимость в совокупности.

Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения:

Определение 39. Случайные величины независимы (в совокупности), если для любых имеет место равенство:

Для случайных величин с дискретным распределением эквивалентное определение независимости выглядит так:
Определение 40. Случайные величины с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел  имеет место равенство:

Упражнение 38. Доказать, что из независимости в смысле определения 37 следует независимость в смысле определения 39 (доказательство в обратную сторону см. в § 4 гл. 3 учебника А.А.Боровкова «Теория вероятностей»).
Упражнение 39. Доказать, что для случайных величин с дискретным распределением определения 37 и 40 эквивалентны.
Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:
Определение 41. Случайные величины с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин , т.е. для любых имеет место равенство:

.

Замечание 17. Плотность распределения определяется с точностью до её значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры). Поэтому равенство плотности совместного распределения и произведения плотностей можно понимать тоже как равенство «почти всюду».
Докажем эквивалентность определений 39 и 41.
Доказательство. По теореме 27, если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и в отдельности также имеют абсолютно непрерывные распределения. Пусть случайные величины независимы в смысле определения 39, т.е. для любых

Но функция совместного распределения равна

а произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним -мерным интегралом:

Равенство интегралов при всех значениях влечёт, после дифференцирования по , равенство подынтегральных выражений почти всюду (дифференцировать можно почти всюду), т.е. независимость в смысле определения 41. Для доказательства в обратную сторону можно использовать те же равенства, но в обратном порядке.

QED


N.Ch.