next up previous contents index
Next:  Мера и вероятностная мера   Up:  Аксиоматика теории вероятностей   Previous:  Аксиоматика теории вероятностей

§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий

Алгебра событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий (каждый третий студент 1 курса ЭФ не знает, что такое область определения функции. А вы знаете?).

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств . При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 2 главы 1 операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Определение 10. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1)   (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2)  если , то  (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3)  если и , то  (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из свойств (A1) и (A2) следует, что пустое множество также содержится в .

Из (A3) следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых , ...,  выполнено .

Вместо замкнутости относительно операции объединения можно требовать замкнутость относительно операции пересечения.

Свойство 1. Свойство (A3) в определении 10 можно заменить на

(A4)  если и , то .

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если , , то , по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит . В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений:

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Пример 11. Пусть — пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств являются алгебрами (проверьте это по определению):

1. — тривиальная алгебра.

2. .

3. , где — произвольное подмножество (в предыдущем примере ).

4. — множество всех подмножеств .

Упражнение 11. Доказать, что если состоит из элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно элементов.

Сигма-алгебра событий.

В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.
Определение 11. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется -алгеброй (-алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

(S1)     (-алгебра событий содержит достоверное событие);

(S2)  если , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

(S3)  если , , то (вместе с любым счётным набором событий -алгебра содержит их объединение).

Упражнение 12.
а)
Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества .
б)
Вывести из (S1) и (S2), что .
Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее свойство.
Свойство 2. Свойство (S3) в определении 11 можно заменить на

(S4)  если , , то .

Как показывает следующее свойство, всякая -алгебра автоматически является алгеброй.
Свойство 3. Если — -алгебра, то она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых и выполняется .
Доказательство. Превратим пару в счётную последовательность событий так: , т.е. положим , при всех . Объединение совпадает с объединением всех множеств из этой бесконечной последовательности. А так как  — -алгебра, то

Упражнение 13. Докажите, что для любых выполнено .
Обратное, вообще говоря, неверно: не всякая алгебра является сигма-алгеброй. Чтобы показать это, приведём пример алгебры, не являющейся -алгеброй.
Пример 12. Пусть , и пусть — множество, содержащее любые конечные подмножества (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. В частности, множество принадлежит , множество также принадлежит .

Легко проверить, что множество является алгеброй. Действительно, пустое множество и само там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в по определению, дополнение к множеству вида для конечных совпадает с и также принадлежит по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит . Объединение конечного множества с множеством вида , где конечно, есть снова множество вида , где конечно (или пусто). Объединение двух множеств и , являющихся дополнениями до конечных множеств и , есть снова множество такого же вида.

Однако алгебра не содержит ни одного счётного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд не принадлежит . Поэтому не является -алгеброй: для бесконечной, но счётной последовательности одноточечных множеств из их объединение не принадлежит .

Все алгебры из примера 11 являются -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве понятия алгебры и -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств является -алгеброй для любого .

Борелевская(1) -алгебра в .

Приведём пример -алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем, — -алгебры борелевских множеств на вещественной прямой.

Борелевской сигма-алгеброй в называется самая маленькая среди всех возможных -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, таково множество всех подмножеств . Чтобы сделать эти слова — про самую маленькую -алгебру — понятными, поработаем с примерами.

Пример 13. Пусть — вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до -алгебр.

1.  Множество не является -алгеброй, так как, например, . Самый маленький набор множеств, содержащий и являющийся -алгеброй (минимальная -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из :

.

Более точно:
Определение 12. Минимальной -алгеброй, содержащей некоторый набор множеств , называется пересечение всех -алгебр, содержащих .
Ещё раз напомним, что пересекать в определении 12 есть что: хотя бы одна -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдётся — это -алгебра всех подмножеств .
Упражнение 14. Доказать, что пересечение двух -алгебр, содержащих набор множеств , снова является -алгеброй (невероятно!), содержащей .
Упражнение 15. Найти минимальную -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств :   .
2.   Пусть множество подмножеств вещественной прямой состоит из всевозможных открытых интервалов , где :

Упражнение 16. Проверить, что множество всех интервалов ни в коем случае не является ни алгеброй, ни -алгеброй!    Указание: привести примеры двадцати множеств из , дополнения к которым не принадлежат ; привести примеры пяти множеств из , любые объединения которых не принадлежат .

Определение 13. Минимальная -алгебра, содержащая множество всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской сигма-алгеброй в и обозначается .
Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в , требуются специальные построения.

Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат , и — -алгебра. Отсюда сразу следует, что содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счётного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.

В частности, принадлежит .
Доказательство. Это сразу следует из свойства (S1) -алгебры, но может быть доказано и исходя из свойств (S2), (S3). Интервал принадлежит , а значит, принадлежит и при любом , т.е. . Но — -алгебра, и содержит счётное объединение любых своих элементов, поэтому

Далее, любой интервал вида (или , или ), где , принадлежит .
Доказательство. Интервал принадлежит при любом . Тогда счётное пересечение этих интервалов

по свойству (S4) также принадлежит .
Любое одноточечное подмножество принадлежит .
Доказательство. Действительно, , а разность двух множеств из -алгебры снова принадлежит -алгебре.
Упражнение 17. Докажите, что множества вида принадлежат , что множество натуральных чисел принадлежит , множество рациональных чисел принадлежит .
3.   Борелевская -алгебра в строится совершенно так же, как в . Это должна быть минимальная -алгебра, содержащая все множества вида — уже не интервалы, как в , а прямоугольники в , параллелепипеды в и т.д. Вместе с ними содержит любые множества, являющиеся «предельными» для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в является борелевским множеством — можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.
Итак, мы определили специальный класс подмножеств пространства элементарных исходов , названный -алгеброй событий, причём применение счётного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из снова дает множество из , т.е. не выводит за рамки этого класса. Событиями будем называть только множества .
Определим теперь понятие вероятности как функции, определённой на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число — вероятность этого события).

А чтобы читателю сразу стало понятно, о чём пойдёт речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре подмножеств .

Следующий параграф познакомит нас с понятиями меры и вероятностной меры.

next up previous contents index
Next:  Мера и вероятностная мера   Up:  Аксиоматика теории вероятностей   Previous:  Аксиоматика теории вероятностей

1 Félix Edouard Justin Emile Borel (7.01.1871 — 3.02.1956, France)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N.Ch.