next up previous contents index
Next:  Типы многомерных распределений   Up:  Многомерные распределения   Previous:  Многомерные распределения

§ 1. Совместное распределение

Пусть случайные величины , ...,  заданы на одном вероятностном пространстве .
Определение 34. Функция    называется функцией распределения вектора или функцией  совместного распределения случайных величин .
Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором из двух величин.

(F0)
 Для любых верно неравенство: .

(F1)
  не убывает по каждой координате вектора .

(F2)
 Для любого существует . Существует двойной предел .

(F3)
 Функция по каждой координате вектора непрерывна слева.

(F4)
 Чтобы по функции совместного распределения восстановить функции распределения и в отдельности, следует устремить мешающую переменную к :

(16)

Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю. Но теперь свойств (F0)—(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Т.е. выполнение этих свойств для некоторой функции не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Упражнение 37. Доказать, что функция

удовлетворяет всем свойствам (F0)—(F3), но не является функцией распределения никакого вектора хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдётся и прямоугольник , «вероятность» попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

Легко доказать (убедиться, что легко), что для любых , справедливо равенство:

.

Дополнительно к свойствам (F0)—(F3) от функции требуют неотрицательности этого выражения (при любых , ).


N.Ch.