Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова⁽¹⁾», но сформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин. Как и ранее, через

обозначена сумма первых

случайных величин в последовательности:

Теорема 37 (ЦПТ Ляпунова). Пусть

— независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией:

. Тогда имеет место слабая сходимость

последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения

любого нормального закона непрерывна всюду на

(почему?), утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 20. Пусть

— независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Тогда выполнены утверждения:

а)

для любых вещественных

при

имеет место сходимость

б)

если

— произвольная случайная величина со стандартным нормальным распределением, то

Замечание 27. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

Мы докажем ЦПТ и ЗБЧ в форме Хинчина чуть позднее. Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическим инструментом, который в математике обычно называют «преобразованиями Фурье», а в теории вероятностей — «характеристическими функциями».

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

§ 3. Центральная предельная теорема