next up previous contents index
Next:  Задачи   Up:  Оглавление   Previous:  Доказательство центральной предельной теоремы

ПРИЛОЖЕНИЕ

В этом разделе, который никогда не будет прочитан на лекциях, поскольку эта тема подробно разбирается на практических занятиях, мы поговорим о максимуме и минимуме из случайных величин. Вдумчивый читатель уже догадался, что ничего общего с клубом «Максимин» ЭФ НГУ эта тема не имеет. Нам необходимо уметь обращаться с минимумом и максимумом из нескольких случайных величин хотя бы потому, что при изучении математической статистики мы не раз о них вспомним.

Пусть случайные величины независимы в совокупности и одинаково распределены, — их общая функция распределения.

Определение  N. Случайную величину назовём максимумом, а случайную величину — минимумом из случайных величин .
Замечание N. Заметим, что , т.е. на каждом элементарном исходе совпадает с одной из , , но ни с одной из них не совпадает при всех (если величины независимы).
Упражнение N. Доказать, что вероятность максимуму из первых независимых и одинаково распределённых случайных величин, имеющих абсолютно непрерывное распределение, равняться первой из них, равно как и любой другой, есть :

Для доказательства воспользоваться соображениями симметрии, разбив пространство на несколько равновероятных событий вида и несколько событий нулевой вероятности, включающих возможные равенства. Вспомнить, с какой вероятностью две (или больше) из совпадают (нарисовать событие на плоскости).

Теорема  N. Функции распределения случайных величин и равны соответственно

Доказательство. Найдём функцию распределения . Максимум из величин меньше тогда и только тогда, когда каждая из этих величин меньше . Поэтому событие равносильно пересечению  независимых событий , ..., , имеющих одну и ту же вероятность :

Найдём функцию распределения . Минимум из величин не меньше тогда и только тогда, когда каждая из этих величин не меньше :

Update: раньше мне не приходило в голову, что "знатоки" из интернета не в состоянии вычленить из готового рассуждения для минимума независимых и одинаково распределённых случайных величин "формулу" для функции распределения минимума независимых велчиин с разными распределениями... Оказывается, не могут. Специально для них:

ПОСЛЕДНЮЮ СТРОЧКУ ИГНОРИРУЕМ, И ПОЛУЧАЕМ НУЖНУЮ ФОРМУЛУ!

О, святая дева Мария...

QED

Пример  N. Пусть случайные величины независимы в совокупности и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Докажем, что последовательность случайных величин , , , ... сходится по вероятности к правому концу отрезка — к единице.

Можно произнести это утверждение так: «максимум из первых случайных величин с ростом сходится к единице по вероятности».

Есть как минимум два способа доказательства.

Способ 1. По определению.

Зафиксируем произвольное число . Заметим, что , поскольку это максимум из случайных величин, принимающих значения на отрезке [0, 1] п.н. Поэтому

Для того, чтобы установить сходимость последней вероятности к нулю, можно её либо найти, либо оценить с помощью неравенства Маркова. Сделаем и то, и другое.

(А) Найдём эту вероятность.

Для равномерного распределения на отрезке [0, 1]

А если ещё заметить, что , то

Видно, что при .

(Б) Оценим вероятность сверху. Поскольку п.н. и , то по неравенству Маркова

(28)

Найдём плотность распределения и математическое ожидание :

Подставляя математическое ожидание в неравенство (28), получим

Способ 2. Используем связь со слабой сходимостью.

Сходимость по вероятности к постоянной равносильна слабой сходимости (свойство 20). Докажем, что слабо сходится к единице. Требуется доказать, что функция распределения сходится к для любого (почему кроме 1?).

При любом имеем: при . При любом имеем: при . При любом имеем: . И только при сходимости нет: , тогда как . Но сходимости в точке и не требуется — в этой точке предельная функция распределения терпит разрыв:

Таким образом, слабо сходится к единице, и, следовательно, сходится к ней же по вероятности.

Упражнение N+1. Доказать (способами (1А), (1Б) и (2), что, в условиях примера (N), последовательность сходится по вероятности к нулю (мы будем говорить «минимум из первых случайных величин с ростом сходится к нулю по вероятности»).
Красивых задач, связанных с максимумом и минимумом, слишком много. Предлагаю вам решить, например, следующие:
Пусть случайные величины независимы в совокупности и имеют равномерное распределение на отрезке , , . Доказать, что:

1)
последовательность при слабо сходится к показательному распределению с параметром 1;
2)
точно так же себя ведёт последовательность ;

3)
это не удивительно, поскольку случайные величины и одинаково распределены;

4)
посчитав вероятность , можно легко найти функцию совместного распределения случайных величин , и с её помощью, например, доказать зависимость этих величин. Зависимость, впрочем, и так очевидна, достаточно рассмотреть пустое пересечение двух событий и , вероятность каждого из которых положительна.

N.Ch.