- 1.
- Построить какую-нибудь вероятность
на множестве натуральных чисел как на дискретном пространстве элементарных исходов.
- 2.
- Вероятность события равна нулю. Верно ли, что тогда невозможное событие?
- 3.
- Являются ли события «выпал герб при первом броске монеты» и
«выпал герб при втором броске монеты» несовместными?
- 4.
- Пусть . Является ли алгеброй набор множеств
?
- 5.
- Задать какую-нибудь алгебру на множестве .
- 6.
- Пусть . На множестве задана функция:
, , . Является ли мерой?
- 7.
- Задать какую-нибудь вероятностную меру на множестве всех подмножеств
множества (как на сигма-алгебре).
- 8.
- Является ли -алгеброй декартово произведение
двух борелевских
-алгебр?
- 9.
- Принадлежит ли множество рациональных чисел -алгебре,
порождённой множеством всех одноточечных подмножеств ?
- 10.
- На борелевской -алгебре в задана функция:
для любого . Является ли вероятностной мерой?
- 11.
- Пусть функция на множестве задана так:
, если , и , если .
Является ли функция мерой на множестве всех подмножеств ?
- 12.
- Привести пример какой-нибудь меры,
отличной от меры Лебега, на -алгебре борелевских множеств на прямой.
См. определения 28, 29, 30 и т.д.
- 13.
- Доказать, что если для всех ,
то
См. свойства вероятности 4 и
7.
- 14.
- Доказать, что если для всех ,
то
См. свойства вероятности 4 и
7.
- 15.
- Найти количество всех 2005-значных чисел, в записи которых используются все цифры от
1 до 9, но никакие соседние цифры в записи этих чисел не совпадают.
См. формулу включения-исключения.
- 16.
- Найти вероятность того, что при раздаче колоды в 52 карты четверым
игрокам поровну хотя бы у одного из игроков соберутся все карты одной масти.
См. формулу включения-исключения.
- 17.
- Доказать, что является борелевским множеством.
- 18.
- Доказать, что является борелевским множеством.
- 19.
- Доказать, что канторовское совершенное множество является борелевским множеством.
См. определения 13 и 11.
- 20.
- Могут ли два независимых события образовать полную группу событий?
- 21.
- Из полной колоды карт вынимают одну. Будут ли независимыми события
«вынутая карта король» и «вынутая карта туз»?
- 22.
- Что означает независимость в совокупности событий и ?
- 23.
- Следует ли из равенства
независимость событий и в совокупности? Если «да» доказать, если
«нет» привести контрпример.
- 24.
- Следует ли из того же равенства попарная независимость ? Если «да» доказать, если
«нет» привести контрпример.
- 25.
- Пусть , где мера Лебега. Построить на этом вероятностном пространстве три
случайных величины с равномерными на [0, 1] распределениями.
- 26.
- Пусть , , .
Задать вероятностную меру так, чтобы функция оказалась случайной величиной с вырожденным
распределением.
- 27.
- Пусть , , .
Задать вероятностную меру так, чтобы функция оказалась случайной величиной с распределением
Бернулли.
- 28.
- Привести пример вероятностного пространства и на нем трёх
независимых попарно, но зависимых в совокупности случайных величин.
- 29.
- Доказать, что случайная величина с вырожденным распределением
независима с любой другой случайной величиной.
- 30.
- Пусть случайная величина имеет стандартное
нормальное распределение, а случайная величина равна знаку .
Проверить, независимы ли случайные величины и .
- 31.
- Доказать, что из независимости в совокупности случайных
величин следует их попарная независимость.
- 32.
- Доказать, что случайные величины и независимы тогда и только тогда,
когда для любых двух борелевских функций и независимы случайные величины
и .
- 33.
- Может ли какое-нибудь из стандартных дискретных
распределений быть устойчивым относительно:
а) умножения на некоторую постоянную?
б) умножения на произвольную постоянную?
в) произвольного линейного преобразования?
Здесь устойчивость сохранение того же вида распределения.
- 34.
- Какие из стандартных абсолютно-непрерывных распределений
устойчивы относительно:
а) умножения на некоторую постоянную?
б) умножения на произвольную постоянную?
в) произвольного линейного преобразования?
- 35.
- Привести пример случайных величин и с одинаковым нормальным
распределением, сумма которых имеет вырожденное распределение.
- 36.
- Привести пример случайных величин и с пуассоновскими
распределениями, сумма которых имеет распределение, отличное от пуассоновского.
- 37.
- Привести пример случайных величин и с пуассоновскими
распределениями с параметрами , сумма которых имеет
распределение, отличное от пуассоновского.
См. пример 49.
- 38.
- Пусть и независимые случайные величины.
Какое распределение имеет ?
- 39.
- Когда возможно равенство ?
- 40.
- Пусть четвёртый момент случайной величины конечен,
и имеет место равенство .
Доказать, что
Распределение Бернулли, и только оно, обладает свойством .
- 41.
- Привести пример случайной величины с дискретным
распределением, у которой существует первый момент, но не существует
дисперсия.
- 42.
- Сравнить и .
- 43.
- Привести пример случайной величины с абсолютно непрерывным
распределением, у которой существует второй момент, но не существует
третий.
- 44.
- Привести пример случайных величин и таких,
что существует, но ни , ни
не существуют.
- 45.
- Привести пример случайных величин и таких,
что и существуют, но не существует
.
- 46.
- Привести пример одинаково распределённых случайных величин
, и таких,
что все три величины , и имеют различные
распределения.
Достаточно, если каждая будет принимать три значения.
- 47.
- Привести пример одинаково распределённых случайных величин
и таких,
что величины и имеют разные
распределения.
- 48.
- Привести пример, показывающий что для одинаково распределённых
случайных величин и не обязательно
, даже если эти математические ожидания существуют.
- 49.
- Привести пример, показывающий,
что следующее утверждение неверно: «Для любых унимодальных
распределений медиана всегда лежит между математическим ожиданием и модой».
Попробуйте распределение с плотностью
при и
при , где ,
, параметры.
- 50.
- Привести пример того, что в ЗБЧ Хинчина существенно
условие независимости.
- 51.
- Проверить, имеет ли место сходимость к нулю по вероятности
для последовательности , ,... независимых случайных величин
со стандартным распределением Коши.
- 52.
- Пусть , , ... последовательность
независимых и одинаково распределённых случайных величин с невырожденным распределением.
Доказать, что не существует случайной величины , к которой данная
последовательность сходилась бы по вероятности. Сходится ли эта
последовательность по распределению?
- 53.
- Доказать, что в условиях ЦПТ последовательность
не сходится по вероятности
ни к какой случайной величине.
Рассмотрите отдельно и вместе сумму первых и следующих слагаемых.