Простые и непростые задачи

  1.

Построить какую-нибудь вероятность на множестве натуральных чисел как на дискретном пространстве элементарных исходов.

  2.

Вероятность события равна нулю. Верно ли, что тогда — невозможное событие?

  3.

Являются ли события «выпал герб при первом броске монеты» и «выпал герб при втором броске монеты» несовместными?

  4.

Пусть . Является ли алгеброй набор множеств ?

  5.

Задать какую-нибудь алгебру на множестве .

  6.

Пусть . На множестве задана функция: ,   ,   . Является ли мерой?

  7.

Задать какую-нибудь вероятностную меру на множестве всех подмножеств множества (как на сигма-алгебре).

  8.

Является ли -алгеброй декартово произведение двух борелевских -алгебр?

  9.

Принадлежит ли множество рациональных чисел -алгебре, порождённой множеством всех одноточечных подмножеств ?

10.

На борелевской -алгебре в задана функция: для любого . Является ли вероятностной мерой?

11.

Пусть функция на множестве задана так: , если , и , если . Является ли функция мерой на множестве всех подмножеств ?

12.

Привести пример какой-нибудь меры, отличной от меры Лебега, на -алгебре борелевских множеств на прямой.

См. определения 28, 29, 30 и т.д.

13.

Доказать, что если для всех , то

См. свойства вероятности 4 и 7.

14.

Доказать, что если для всех , то

См. свойства вероятности 4 и 7.

15.

Найти количество всех 2005-значных чисел, в записи которых используются все цифры от 1 до 9, но никакие соседние цифры в записи этих чисел не совпадают.

См. формулу включения-исключения.

16.

Найти вероятность того, что при раздаче колоды в 52 карты четверым игрокам поровну хотя бы у одного из игроков соберутся все карты одной масти.

См. формулу включения-исключения.

17.

Доказать, что является борелевским множеством.

18.

Доказать, что является борелевским множеством.

19.

Доказать, что канторовское совершенное множество является борелевским множеством.

См. определения 13 и 11.

20.

Могут ли два независимых события образовать полную группу событий?

21.

Из полной колоды карт вынимают одну. Будут ли независимыми события «вынутая карта — король» и «вынутая карта — туз»?

22.

Что означает независимость в совокупности событий и ?

23.

Следует ли из равенства

независимость событий и в совокупности? Если «да» — доказать, если «нет» — привести контрпример.

24.

Следует ли из того же равенства попарная независимость ? Если «да» — доказать, если «нет» — привести контрпример.

25.

Пусть , где — мера Лебега. Построить на этом вероятностном пространстве три случайных величины с равномерными на [0, 1] распределениями.

26.

Пусть , , . Задать вероятностную меру  так, чтобы функция оказалась случайной величиной с вырожденным распределением.

27.

Пусть , , . Задать вероятностную меру  так, чтобы функция оказалась случайной величиной с распределением Бернулли.

28.

Привести пример вероятностного пространства и на нем трёх независимых попарно, но зависимых в совокупности случайных величин.

29.

Доказать, что случайная величина с вырожденным распределением независима с любой другой случайной величиной.

30.

Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина равна знаку . Проверить, независимы ли случайные величины и .

31.

Доказать, что из независимости в совокупности случайных величин следует их попарная независимость.

32.

Доказать, что случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда для любых двух борелевских функций и независимы случайные величины и .

33.

Может ли какое-нибудь из стандартных дискретных распределений быть устойчивым относительно: а) умножения на некоторую постоянную?   б) умножения на произвольную постоянную?    в) произвольного линейного преобразования?

Здесь устойчивость — сохранение того же вида распределения.

34.

Какие из стандартных абсолютно-непрерывных распределений устойчивы относительно: а) умножения на некоторую постоянную?   б) умножения на произвольную постоянную?   в) произвольного линейного преобразования?

35.

Привести пример случайных величин и с одинаковым нормальным распределением, сумма которых имеет вырожденное распределение.

36.

Привести пример случайных величин и с пуассоновскими распределениями, сумма которых имеет распределение, отличное от пуассоновского.

37.

Привести пример случайных величин и с пуассоновскими распределениями с параметрами , сумма которых имеет распределение, отличное от пуассоновского.

См. пример 49.

38.

Пусть и — независимые случайные величины. Какое распределение имеет ?

39.

Когда возможно равенство ?

40.

Пусть четвёртый момент случайной величины конечен, и имеет место равенство . Доказать, что

Распределение Бернулли, и только оно, обладает свойством .

41.

Привести пример случайной величины с дискретным распределением, у которой существует первый момент, но не существует дисперсия.

42.

Сравнить и .

43.

Привести пример случайной величины с абсолютно непрерывным распределением, у которой существует второй момент, но не существует третий.

44.

Привести пример случайных величин и таких, что существует, но ни , ни не существуют.

45.

Привести пример случайных величин и таких, что и существуют, но не существует .

46.

Привести пример одинаково распределённых случайных величин , и таких, что все три величины , и имеют различные распределения.

Достаточно, если каждая будет принимать три значения.

47.

Привести пример одинаково распределённых случайных величин и таких, что величины и имеют разные распределения.

48.

Привести пример, показывающий что для одинаково распределённых случайных величин и не обязательно , даже если эти математические ожидания существуют.

49.

Привести пример, показывающий, что следующее утверждение неверно: «Для любых унимодальных распределений медиана всегда лежит между математическим ожиданием и модой».

Попробуйте распределение с плотностью при и при , где , , — параметры.

50.

Привести пример того, что в ЗБЧ Хинчина существенно условие независимости.

51.

Проверить, имеет ли место сходимость к нулю по вероятности для последовательности , ,...  независимых случайных величин со стандартным распределением Коши.

52.

Пусть , , ... — последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин с невырожденным распределением. Доказать, что не существует случайной величины , к которой данная последовательность сходилась бы по вероятности. Сходится ли эта последовательность по распределению?

53.

Доказать, что в условиях ЦПТ последовательность не сходится по вероятности ни к какой случайной величине.

Рассмотрите отдельно и вместе сумму первых и следующих слагаемых.