next up previous contents index
Next:  Примеры использования формулы свёртки   Up:  Многомерные распределения   Previous:  Независимость случайных величин

§ 6. Функции от двух случайных величин

Пусть и — случайные величины с плотностью совместного распределения , и задана борелевская функция . Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины .

Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.

Теорема 28. Пусть , и область состоит из точек таких, что . Тогда случайная величина имеет функцию распределения

Далее в этой главе предполагается, что случайные величины и независимы, т.е. . В этом случае распределение величины полностью определяется частными распределениями величин и .
Следствие 9   (формула свёртки). Если случайные величины и независимы и имеют абсолютно непрерывные распределения с плотностями и , то плотность распределения суммы равна «свёртке» плотностей и :

(18)

Доказательство. Воспользуемся утверждением теоремы 28 для борелевской функции . Интегрирование по области можно заменить последовательным вычислением двух интегралов: наружного — по переменной , меняющейся в пределах от до , и внутреннего — по переменной , которая при каждом должна быть меньше, чем . Здесь . Поэтому

Сделаем в последнем интеграле замену переменной на так: . При этом перейдёт в , . В полученном интеграле меняем порядок интегрирования: функция распределения равна

Итак, мы представили функцию распределения в виде , где

Второе равенство получается либо из первого заменой переменных, либо просто из-за возможности поменять местами и .

QED

Следствие 9 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает (заметьте!), что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями также имеет абсолютно непрерывное распределение.
Упражнение 40. Для тех, кто уже ничему не удивляется: привести пример двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями таких, что их сумма имеет вырожденное распределение.
Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая — абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тоже имеет абсолютно непрерывное распределение:
Упражнение 41. Пусть имеет таблицу распределения , а имеет плотность распределения , и эти величины независимы. Доказать, что имеет плотность распределения . Для вычисления функции распределения суммы использовать формулу полной вероятности.

N.Ch.