Измеримость функций от случайных величин

Теорема 22. Пусть

— случайная величина, а

— борелевская (измеримая по Борелю) функция, т.е. такая, что для всякого борелевского множества

его прообраз

есть снова борелевское множество. Тогда

— случайная величина.

Доказательство. Проверим, что прообраз любого борелевского множества при отображении

является событием. Возьмём произвольное

и положим

. Множество

борелевское, так как функция

измерима по Борелю. Найдём

поскольку и — случайная величина.

QED

Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмеримого множества Витали, т.е. функция, принимающая значение 1 в точках этого множества и значение 0 во всех прочих точках числовой прямой. Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты экзотические, в обычной жизни не встречающиеся.

§ 1. Измеримость функций от случайных величин