1. Сначала покажем, что величина есть квадрат нормы некоторого вектора в . Затем убедимся в том, что матрица ковариаций типичного слагаемого в сумме вырождена, что мешает использовать многомерную ЦПТ.
2. Найдем ортогональное преобразование , приводящее к виду
,
где вектор уже имеет невырожденную единичную матрицу ковариаций. В силу линейности умножения, вектор тоже перейдет в вектор с нулевой последней координатой. Но его норма не изменится из-за ортогональности матрицы .
3. К вектору сумм применим многомерную ЦПТ. В пределе получим -мерный нормальный вектор с нулевым средним и единичной матрицей ковариаций, т.е. составленный из независимых величин со стандартным нормальным распределением. Воспользуемся следствием 5 и тем, что квадрат нормы этого вектора имеет -распределение .
Реализация:
1. С каждым элементом выборки свяжем вектор-столбец :
Получим независимых и одинаково распределенных векторов. Среднее равно нулю, поскольку для любого .
Далее, , поэтому
Найдем матрицу ковариаций вектора , составленную из элементов
Вырождена эта матрица хотя бы оттого, что координаты вектора линейно связаны:
(38) |
2. Из (38) мораль: если последняя строка ортогональной матрицы будет иметь вид (что вполне возможно норма такой строки равна единице), то после умножения на получим вектор с нулевой последней координатой в точности (38).
При умножении вектора на матрицу слева его матрица ковариаций перейдет в . Убедимся, что, какой бы ни была ортогональная матрица , в результате получим диагональную матрицу из нулей с единицами на главной диагонали, кроме элемента . Ортогональность означает, что для любых и имеют место равенства
Учитывая, что -й элемент матрицы есть , получим
(39) |
3. Осталось повторить то, что мы уже описали в плане: умножение приводит к вектору с нулевой последней координатой по (38). Равенствами (39) мы показали, что вектор имеет невырожденную единичную матрицу ковариаций . Вектора независимы, одинаково распределены, имеют нулевое среднее .
Все условия многомерной ЦПТ выполнены, поэтому
По следствию 5, норма вектора слабо сходится к норме вектора , состоящего, согласно теореме 14, из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением:
(40) |
нормы одинаковы в силу (17): . И все эти нормы ведут себя так же как и (40).
Q.D.E.
N.I.Chernova