next up previous contents index
Next:  Свойства коэффициента корреляции   Up:  Числовые характеристики зависимости   Previous:  Ковариация двух случайных величин

§ 2. Коэффициент корреляции

Определение 47. Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

Замечание 22. Чтобы разглядеть «устройство» коэффициента корреляции, распишем по определению числитель и знаменатель:

Здесь математикам уместно провести аналогии с «косинусом угла» между двумя элементами и гильбертова пространства, образованного случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и конечным вторым моментом, снабженного скалярным произведением и «нормой», равной корню из дисперсии, или корню из скалярного произведения .

Пример 50. Рассмотрим продолжение примера 49, но пусть и будут не только независимыми, но и одинаково распределёнными случайными величинами, и их дисперсия отлична от нуля. Найдём коэффициент корреляции величин и :

Коэффициент корреляции величин и равен косинусу угла , образованного «векторами» и , когда «» и их «длина» одинакова.

Упражнение 49. Чтобы аналогия не заходила слишком далеко, и у читателя не возникло искушения любые случайные величины рисовать стрелочками на плоскости и вместо подсчёта математических ожиданий измерять углы, предлагаю убедиться, например, что коэффициент корреляции величин и равен:

а) нулю, если имеет нормальное распределение с нулевым средним;

б) , если имеет показательное распределение с любым параметром.


N.Ch.