 | (19) |
Величина 
равняется нулю,
если случайные величины 
и 
независимы (свойство (E7) математического ожидания).
С другой стороны, из равенства её нулю вовсе не следует независимость,
как показывают примеры 34 и 35.
Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» между
двумя случайными величинами.
и получив аналогичные равенства для квадрата суммы 
слагаемых.
отлична
от нуля, то величины
и зависимы.
Чтобы судить о наличии зависимости согласно любому из определений независимости,
требуется знать совместное распределение пары и .
Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения
и . Если нам повезёт, и математическое ожидание произведения
и не будет равняться произведению их математических ожиданий,
мы скажем, что и зависимы, не находя их совместного распределения! Это очень хорошо.
и — независимые случайные величины, и
дисперсия отлична от нуля (что это значит?).
Покажем, что и 
зависимы:
поэтому
.
Следовательно,
и зависимы.
не является «безразмерной»: если — объем газа
в сосуде, а — давление этого газа, то
ковариация измеряется в м3·Па.
Иначе говоря, при умножении или на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число. Но умножение на число
не сказывается на «степени зависимости» величин (они от этого «более
зависимыми» не становятся), так что большое значение ковариации
не означает более сильной зависимости. Это очень плохо.
Нужно как-то нормировать ковариацию, получив из неё «безразмерную» величину, абсолютное значение которой:
а) не менялось бы при умножении случайных величин на число;
б) свидетельствовало бы о «силе зависимости» случайных величин.
Говоря о «силе» зависимости между
случайными величинами, мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость —
функциональная, а из функциональных — линейная зависимость, когда
п.н.
Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если
по последовательности независимых случайных величин 
построить величины 
и 
, то эти величины зависимы, но очень «слабо»:
через единственное общее слагаемое 
. Сильно ли зависимы число гербов в первых двадцати пяти подбрасываниях монеты и число гербов
в испытаниях с двадцать пятого по девяностое?
N.Ch.
;
; 
; 
. 
.