Распределения функций от случайных величин

Если случайная величина

имеет дискретное распределение, то для любой борелевской функции

величина

также имеет дискретное распределение, и таблица распределения

находится просто по определению. Поэтому мы будем рассматривать в основном преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.

Пусть случайная величина имеет функцию распределения и плотность распределения . Построим с помощью борелевской функции случайную величину . Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения величины .

Замечание 15. Плотность распределения случайной величины

существует далеко не при любых функциях

. Так, если функция

кусочно-постоянна, то

имеет дискретное распределение, и плотность её распределения не существует.

Упражнение 34. Привести пример плотности распределения случайной величины

и непрерывной функции

таких, что

имеет:

а) дискретное распределение; б) невырожденное дискретное распределение.

Плотность распределения величины

заведомо существует, если, например, функция

(строго) монотонна.

В общем случае мы не можем просто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем, существует ли плотность. Следует доказать, что распределение абсолютно непрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдём и плотность распределения. Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютной непрерывности распределения. Если, согласно равенству (14), можно для любого представить функцию распределения величины в виде

то плотность распределения величины существует и равна подынтегральной функции: . Другой путь — продифференцировать функцию распределения и уже затем убедиться, что производная является плотностью распределения, т.е. обладает свойствами (f1) и (f2).

Теорема 23. Пусть

имеет функцию распределения

и плотность распределения

, и постоянная

отлична от нуля. Тогда случайная величина

имеет плотность распределения

Доказательство. Пусть сначала

Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную заменим на новую переменную так: . Тогда , верхняя граница области интегрирования перейдёт в , нижняя перейдёт в . Получим

Функция под интегралом — плотность распределения случайной величины при .

Пусть теперь .

Сделаем ту же замену переменной , . Но теперь граница интегрирования перейдёт в , поскольку . Получим

Функция под интегралом — плотность распределения случайной величины при .

QED

Для произвольной монотонной функции

справедливо утверждение:

Теорема 24. Пусть

имеет плотность распределения

, и функция

монотонна. Тогда случайная величина

имеет плотность распределения

Здесь — функция, обратная к , и — её производная.

Из теоремы 23 следуют уже знакомые нам утверждения:

Квантильное преобразование.

Доказательство. Найдём функцию распределения случайной величины

. Заметим, что всегда

. Предположим сначала, что функция

всюду возрастает. Тогда она обратима, и поэтому

(15)

Но , т.е. .

Если функция не является всюду возрастающей, то у неё есть участки постоянства. В этом случае просто обозначим через самую левую точку из замкнутого множества прообразов точки . При таком понимании «обратной» функции равенства (15) остаются справедливыми вместе с равенством для любого .

QED

Теорему 25 можно использовать для построения случайных величин с заданным распределением по равномерно распределённой случайной величине (например, по результату ДСЧ). Следующее утверждение верно не только для непрерывных, но для любых функций распределения

. Обозначим через

точную нижнюю грань множества тех

, для которых

Для непрерывной функции это определение «обратной функции» совпадает с введённым в доказательстве теоремы 25.

Упражнение 36.

Доказать теорему 26 и следствие 8, а также продолжить список соотношений. Как получить случайную величину с распределением Парето? А с нормальным распределением? (Указание: так её никто не получает).

§ 2. Распределения функций от случайных величин

Линейные и монотонные преобразования.

Квантильное преобразование.