next up previous index
Next:  Проверка гипотез   Up:  Распределения, связанные с нормальным   Previous:  Точные ДИ для параметров

6.7.   Вопросы и упражнения

1.
Величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы и имеют нормальное распределение $N(0,16)$. Найти $k$, при котором величины $\xi_1-3\xi_2$и $k\xi_1+\xi_2$ независимы. Можно использовать свойство 9.
2.
Доказать, что для величины $\chi^2_n$ с распределением ${\mathsf H}_{n}$ справедлива аппроксимация Фишера:

\begin{displaymath} \sqrt{2\chi^2_n}-\sqrt{\vphantom{\chi^2_n}2n} \Rightarrow {\mathsf N}_{0,1},\end{displaymath}

и вывести отсюда, что при больших $n$ для вычисления квантилей распределения ${\mathsf H}_{n}$ можно пользоваться аппроксимацией

\begin{displaymath} {\mathsf H}_n(x)={\mathsf P}\,\left(\chi^2_n<x\right)={\math... ...2n}\right) \approx \Phi_{0,1}\left(\sqrt{2x}-\sqrt{2n}\right).\end{displaymath}

Указание.    Домножить и поделить на сопряженное и воспользоваться ЦПТ и ЗБЧ вместе со свойствами произведения слабо сходящейся и сходящейся по вероятности к постоянной последовательностей.

3.
Изобразить квантили уровня $\varepsilon/2$ и $1-\varepsilon/2$на графике плотности распределения ${\mathsf H}_{n}$ и ${\mathsf T}_{n-1}$.
4.
Вычислить, зная распределение $(n-1)S_0^2/\sigma^2$ и пользуясь известным математическим ожиданием и дисперсией распределения $\chi^2$, математическое ожидание и дисперсию длины ДИ для дисперсии нормального распределения при неизвестном среднем.

N.I.Chernova
9 сентября 2002