next up previous index
Next:  Вопросы и упражнения   Up:  Распределения, связанные с нормальным   Previous:  Преобразования нормальных выборок

6.6.   Точные ДИ для параметров нормального распределения

1.
Для $a$ при известном $\sigma^2$. Этот интервал мы уже построили в примере 23:

\begin{displaymath} {\mathsf P}\,{\!}_{a,\sigma^2} \left(\overline X - \dfrac{\t... ...xtrm{ где } \Phi_{0,1}(\tau_{1-\varepsilon/2})=1-\varepsilon/2.\end{displaymath}

2.
Для $\sigma^2$ при известном $a$. По п. 2 следствия,

\begin{displaymath} \dfrac{n S_1^2}{\sigma^2} \textrm{~имеет распределение } {\m... ... \textrm{~где } S_1^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-a)^2.\end{displaymath}

Пусть $g_1=\chi^2_{n,\varepsilon/2}$ и $g_2=\chi^2_{n,1-\varepsilon/2}$ — квантили распределения ${\mathsf H}_{n}$ уровня $\varepsilon/2$и $1-\varepsilon/2$. Тогда

\begin{displaymath} 1-\varepsilon={\mathsf P}\,{\!}_{a,\sigma^2} \left(g_1 < \df... ...ft(\dfrac{n S_1^2}{g_2} <\sigma^2<\dfrac{n S_1^2}{g_1} \right).\end{displaymath}

3.
Для $\sigma^2$ при неизвестном $a$. По п. 3 следствия,

\begin{displaymath} \dfrac{(n{-}1)S_0^2}{\sigma^2} \textrm{~имеет распределение ... ... S_0^2=\dfrac{1}{n{-}1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2.\end{displaymath}

Пусть $g_1=\chi^2_{n{-}1,\varepsilon/2}$ и $g_2=\chi^2_{n{-}1,1-\varepsilon/2}$ — квантили распределения ${\mathsf H}_{n-1}$ уровня $\varepsilon/2$и $1-\varepsilon/2$. Тогда

\begin{displaymath} 1-\varepsilon={\mathsf P}\,{\!}_{a,\sigma^2} \left(g_1 < \df... ...c{(n{-}1)S_0^2}{g_2} <\sigma^2<\dfrac{(n-1)S_0^2}{g_1} \right).\end{displaymath}

Упражнение.    Найти 17 отличий п. 3 от п. 2.

4.
Для $a$ при неизвестном $\sigma$. По п. 4 следствия,

\begin{displaymath} \sqrt{n}\dfrac{\overline X-a}{S_0}\textrm{~имеет распределен... ... S_0^2=\dfrac{1}{n{-}1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2.\end{displaymath}

Пусть $a_1=t_{n{-}1,\varepsilon/2}$ и $a_2=t_{n{-}1,1{-}\varepsilon/2}$ — квантили распределения ${\mathsf T}_{n-1}$ уровня $\varepsilon/2$и $1-\varepsilon/2$. Распределение Стьюдента симметрично, поэтому $a_1=-a_2$. Тогда

\begin{multline*} 1-\varepsilon={\mathsf P}\,{\!}_{a,\sigma^2} \left(-t_{n{-}1,1... ...ine X + \frac{t_{n{-}1,1{-}\varepsilon/2}S_0}{\sqrt{n}} \right).\end{multline*}

Упражнение.    Сравнить п. 4 с п. 1.

Замечание 15.

Доверительные интервалы, полученные в п. 2 и 3, выглядят странно по сравнению с ДИ из п. 1 и 4: они содержат $n$ в числителе, а не в знаменателе. Но если квантили нормального распределения от $n$ не зависят вовсе, квантили распределения Стьюдента асимптотически не зависят от $n$ по свойству ${\mathsf T}_n\Rightarrow {\mathsf N}_{0,1}$, то квантили распределения ${\mathsf H}_{n}$ зависят от $n$ существенно. Действительно, пусть $g=g(n)$ таково, что ${\mathsf P}\,(\chi^2_n<g)=\delta$ при всех $n$, в том числе и при $n\to\infty$. Тогда последовательность $g(n)$ такова, что $\dfrac{g-n}{\sqrt{2n}}\to\tau_\delta$ при $n\to\infty$, где $\tau_\delta$ — квантиль стандартного нормального распределения. В самом деле: по ЦПТ с ростом $n$

\begin{displaymath} {\mathsf P}\,(\chi^2_n<g)={\mathsf P}\,\left(\sum_{i=1}^n \x... ...dfrac{g-n}{\sqrt{2n}}\right)\to \Phi_{0,1}(\tau_\delta)=\delta.\end{displaymath}

Поэтому квантиль уровня $\delta$ распределения ${\mathsf H}_{n}$ ведет себя как $g=g(n)=n+\tau_\delta\sqrt{2n}+o(\sqrt{n})$.

Упражнение.    Подставить в границы ДИ из п. 2 и 3 асимптотические выражения для квантилей и выяснить, как ведет себя длина этих ДИ с ростом $n$.


N.I.Chernova
9 сентября 2002