«Регулярные» и «нерегулярные» семейства распределений

Пример 14 (регулярное семейство).

Рассмотрим показательное распределение ${\mathsf E}\,{\!}_\alpha$ с параметром $\alpha\gt$ . Плотность этого распределения имеет вид

$\begin{displaymath} f_\alpha(y)=\begin{cases} \displaystyle\alpha e^{-\alpha y},... ...{если } y\gt, \cr 0, & \textrm{если } y\leqslant 0.\end{cases}\end{displaymath}$

В качестве множества можно взять $(0,+\infty)$ , поскольку ${\mathsf P}\,{\!}_\alpha(X_1\gt)=1$ . При любом $y\in C$ , т.е. при $y\gt$ , существует производная функции $\sqrt{f_\alpha(y)}$ по $\alpha$ , и эта производная непрерывна во всех точках $\alpha\gt$ :

$\begin{displaymath} \dfrac{\partial}{\partial\alpha}\sqrt{f_\alpha(y)}= \dfrac{1... ...}} e^{-\alpha y/2} -\sqrt{\alpha}\dfrac{y}{2} e^{-\alpha y/2}.\end{displaymath}$

Пример 15 (нерегулярное семейство).

Рассмотрим равномерное распределение ${\mathsf U}_{0,\theta}$ с параметром $\theta\gt$ . Плотность этого распределения имеет вид

$\begin{displaymath} f_\theta(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & \textrm{если ... ...slant y \textrm{ и } y\gt, \cr 0 & \textrm{иначе}. \end{cases}\end{displaymath}$

Поскольку параметр $\theta$ может принимать любые положительные значения, то никакой ограниченный интервал не является носителем этого семейства распределений: ${\mathsf P}_\theta\,(X_1\in (0,x))<1$ при $\theta\gt x$ . Возьмем $C=(0,+\infty)$ — оно при любом $\theta\gt$ обладает свойством ${\mathsf P}_\theta\,(X_1\in C)=1$ . Так что носитель этого семейства распределений — вся положительная полуось (с точностью до множеств нулевой лебеговой меры). Покажем, что условие (R) не выполнено: множество тех $y\in C$ , при каждом из которых функция $\sqrt{f_{\theta}(y)}$ дифференцируема по $\theta$ , пусто.

**Рис. 5:** Пример 15
$\begin{figure} % latex2html id marker 2232 \unitlength=.8mm \linethickness {0.... ...(3,4.5){ \reflectbox {\includegraphics[scale=1]{plo}} }\end{picture}\end{figure}$

При фиксированном $y\gt$ изобразим функцию $f_\theta(y)$ (или ее корень — масштаб не соблюден) как функцию переменной $\theta$ .

Видим, что какое бы $y\in C$ мы ни взяли, $f_\theta(y)$ даже не является непрерывной по $\theta$ , а тем более дифференцируемой. Следовательно, условие (R) не выполнено.

Пример 16 (нерегулярное семейство).

Рассмотрим «смещенное» показательное распределение с параметром сдвига $\theta\in{\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ и плотностью

$\begin{displaymath} f_\theta(y)=\begin{cases} \displaystyle e^{\theta-y}, & \tex... ...theta<y, \cr 0, & \textrm{если } \theta\geqslant y.\end{cases}\end{displaymath}$

Поскольку при любом $\theta$ распределение сосредоточено на $(\theta,+\infty)$ , а параметр $\theta$ может принимать любые вещественные значения, то только $C={\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ (плюс-минус множество меры нуль) таково, что при любом $\theta\gt$ выполнено ${\mathsf P}_\theta\,(X_1\in C)=1$ . Покажем, что условие (R) опять не выполнено: множество тех $y\in C$ , при каждом из которых функция $\sqrt{f_{\theta}(y)}$ дифференцируема по $\theta$ , столь же пусто, как и в примере 15.

Рис. 6: Пример 16

$\begin{figure} \unitlength=.8mm \linethickness {0.5pt} \begin{picture} (65.00... ...cc]{$y$}} \put(65.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$\theta$}}\end{picture}\end{figure}$

**Рис. 6:** Пример 16
$\begin{figure} \unitlength=.8mm \linethickness {0.5pt} \begin{picture} (65.00... ...cc]{$y$}} \put(65.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$\theta$}}\end{picture}\end{figure}$

При фиксированном $y\in{\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ на рисунке 6 изображена функция $f_\theta(y)$ (а может быть, корень из нее) как функция переменной $\theta$ .

Какое бы ни было, $f_\theta(y)$ даже не является непрерывной по $\theta$ , а тем более дифференцируемой.

4.2. «Регулярные» и «нерегулярные» семейства распределений