Регулярность семейства распределений

Next: «Регулярные» и «нерегулярные» семейства Up: Эффективные оценки Previous: Эффективные оценки

4.1. Регулярность семейства распределений

Пусть , $\ldots$ , — выборка объема из параметрического семейства распределений $\mathscr F_\theta$ , $\theta \in \Theta$ . Пусть $f_\theta(y)$ — плотность $\mathscr F_\theta$ (в смысле определения 5). Введем понятие носителя семейства распределений $\mathscr F_\theta$ .

Любое множество $C\subseteq {\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ такое, что при всех $\theta \in \Theta$ выполняется равенство ${\mathsf P}_\theta\,(X_1\in C)=1$ , назовем носителем семейства распределений $\mathscr F_\theta$ .

Замечание 9.

Мы ввели понятие носителя семейства мер в ${\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ , отличное от общепринятого. Так, носитель в смысле данного нами определения не единственен, но все эти носители отличаются на множество нулевой вероятности.

Следующее условие назовем условием регулярности.

(R) Существует такой носитель семейства распределений $\mathscr F_\theta$ , что при каждом $y\in C$ функция $\sqrt{f_{\theta}(y)}$ непрерывно дифференцируема по $\theta$ во всех точках $\theta \in \Theta$ .

N.I.Chernova 9 сентября 2002