next up previous contents index
Next:  Числовые характеристики распределений   Up:  Многомерные распределения   Previous:  Функции от двух случайных

§ 7. Примеры использования формулы свёртки

Пример 30. Пусть независимые случайные величины и имеют стандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеет нормальное распределение с параметрами и .

По формуле свёртки, плотность суммы равна

Последний интеграл равен единице, поскольку под интегралом стоит плотность нормального распределения с параметрами и .

Итак, мы получили, что плотность суммы есть плотность нормального распределения с параметрами 0 и 2.

Если сумма двух независимых случайных величин из одного и того же распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое же распределение, говорят, что это распределение устойчиво относительно суммирования.

В следующих утверждениях, доказать которые предлагается читателю, перечислены практически все устойчивые распределения.

Лемма 3. Пусть случайные величины и независимы. Тогда .
Лемма 4. Пусть случайные величины и независимы. Тогда .
Лемма 5. Пусть случайные величины и независимы. Тогда .
Лемма 6. Пусть случайные величины и независимы. Тогда .
Все эти утверждения мы докажем позднее, используя аппарат характеристических функций, хотя при некотором терпении можно попробовать доказать их и напрямую, как в примере 30.

Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однако оно является частным случаем гамма-распределения, которое уже устойчиво относительно суммирования.

Лемма 7. Пусть независимые случайные величины имеют показательное распределение . Тогда .
Доказательство. Докажем утверждение по индукции. При оно верно в силу равенства . Пусть утверждение леммы справедливо для . Докажем, что оно верно и для . По предположению индукции имеет распределение , т.е. плотность распределения величины равна

Тогда по формуле свёртки плотность суммы равна

Так как при , т.е. при , то плотность под интегралом отлична от нуля, только если переменная интегрирования изменяется в пределах при . При подынтегральная функция, а вместе с ней и плотность , равна нулю. При имеем:

Поэтому , что и требовалось доказать.

QED

Пример 31. Равномерное распределение не является устойчивым относительно суммирования. Найдём функцию и плотность распределения суммы двух независимых случайных величин с одинаковым равномерным на отрезке [0, 1] распределением, но не по формуле свёртки, а используя геометрическую вероятность.

Пусть — независимые случайные величины. Пару можно считать координатой точки, брошенной наудачу в единичный квадрат. Тогда равна площади области внутри квадрата под прямой . Эта область  — заштрихованные треугольник при , и пятиугольник при . Окончательно получаем:

 

Плотность распределения суммы равна

Это — плотность так называемого «треугольного» распределения Симпсона. Мы видим, что равномерное распределение не обладает устойчивостью относительно суммирования.


N.Ch.