Next: Среднеквадратический подход. Эффективность оценок Up: Оглавление Previous: Вопросы и упражнения

3. Сравнение оценок

Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия, мы получили для каждого параметра уже достаточно много различных оценок. Каким же образом их сравнивать? Что должно быть показателем «хорошести» оценки?

Понятно, что чем дальше оценка отклоняется от параметра, тем она хуже. Но величина $\lvert \theta^*-\theta\rvert$ для сравнения непригодна: во-первых, параметр $\theta$ неизвестен, во-вторых, $\theta^*$ — случайная величина, так что эти величины обычно сравнить нельзя. Как, например, сравнивать $\lvert \overline X-\theta\rvert$ и $\lvert \overline{X^k}-\theta\rvert$ ? Или, на одном элементарном исходе, $\lvert 2.15-\theta\rvert$ и $\lvert 3.1-\theta\rvert$ ?

Поэтому имеет смысл сравнивать не отклонения как таковые, а средние значения этих отклонений, то есть ${\mathsf E}_\theta\,\lvert \theta^*-\theta\rvert$ .

Но математическое ожидание модуля с.в. считать обычно затруднительно, поэтому более удобной характеристикой для сравнения оценок считается ${\mathsf E}_\theta\,(\theta^*-\theta)^2$ . Она удобна еще и тем, что очень чутко реагирует на маловероятные, но большие по абсолютному значению отклонения $\theta^*$ от $\theta$ (возводит их в квадрат).

Заметим еще, что ${\mathsf E}_\theta\,(\theta^*-\theta)^2$ есть функция от $\theta$ , так что сравнивать эти «среднеквадратические» отклонения нужно как функции от $\theta$ — поточечно. Такой подход к сравнению оценок называется среднеквадратическим.

Разумеется, в зависимости от потребностей исследователя можно пользоваться и другими характеристиками, например, ${\mathsf E}_\theta\,(\theta^*-\theta)^4$ или ${\mathsf E}_\theta\,\lvert \theta^*-\theta\rvert$ .

Существует и так называемый асимптотический подход к сравнению оценок, при котором для сравнения оценок используется некая характеристика «разброса» оценки относительно параметра при больших .

N.I.Chernova 9 сентября 2002