Выборочные моменты

Next: Сходимость эмпирических характеристик Up: Основные понятия МС Previous: Эмпирическая функция распределения

1.4. Выборочные моменты

Знание моментов распределения также многое может сказать о его виде и свойствах. Введем выборочные аналоги неизвестных истинных моментов распределения.

Пусть ${\mathsf E}\, \xi= {\mathsf E}\, X_1 = a$ , ${\mathsf D}\, \xi= {\mathsf D}\, X_1 = \sigma^2$ , ${\mathsf E}\, \xi^k = {\mathsf E}\, X_1^k = m_k$ — теоретические среднее, дисперсия, -й момент. Мы уже знакомы с соответствующими характеристиками выборочного распределения ${\mathsf E}\, \xi^*= \overline X$ , ${\mathsf D}\, \xi^*= S^2$ , ${\mathsf E}\, (\xi^*)^k = \overline {X^k}$ .

Теоретические характеристики Эмпирические характеристики
${\mathsf E}\, \xi= {\mathsf E}\, X_1 = a$ — выборочное среднее

${\mathsf D}\, \xi= {\mathsf D}\, X_1 = \sigma^2$ — выборочная дисперсия
либо
— несмещенная выборочная дисперсия

${\mathsf E}\, \xi^k= {\mathsf E}\, X_1^k = m_k$ — выборочный -й момент

Список числовых характеристик и их оценок можно продолжать, рассмотрев, например, центральные, абсолютные и т.п. моменты. В общем случае

момент $\begin{displaymath} {\mathsf E}\, g(\xi)\end{displaymath}$ будем оценивать величиной $\begin{displaymath} \overline{g(X)}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n g(X_i)\end{displaymath}$ .

N.I.Chernova 9 сентября 2002

Теоретические характеристики	Эмпирические характеристики
${\mathsf E}\, \xi= {\mathsf E}\, X_1 = a$	— выборочное среднее
${\mathsf D}\, \xi= {\mathsf D}\, X_1 = \sigma^2$	— выборочная дисперсия либо — несмещенная выборочная дисперсия
${\mathsf E}\, \xi^k= {\mathsf E}\, X_1^k = m_k$	— выборочный -й момент