Ограничимся, для простоты, задачей проверки двух простых гипотез.
Пусть
имеются критерии и
с вероятностями
ошибок первого и второго рода
,
и
,
.
Перечислим общепринятые подходы к сравнению критериев.
Критерий называют минимаксным критерием, если он
не хуже всех других критериев в смысле минимаксного подхода.
Иначе говоря, минимаксный критерий имеет самую маленькую
«наибольшую ошибку» среди всех прочих критериев.
а) если известно априори, что с вероятностью справедлива гипотеза
, а с вероятностью
гипотеза
,
б) если задана линейная «функция потерь»: потери от ошибочного решения
равны , если происходит ошибка первого рода, и равны
, если второго.
Здесь
уже не обязательно равно 1, но потери можно свести
к единице нормировкой
и
.
Пусть априорные вероятности или потери и
заданы.
Говорят, что критерий
не хуже критерия
в смысле
байесовского подхода, если
Критерий называют байесовским критерием,
если он не хуже
всех других критериев в смысле байесовского подхода.
Иначе говоря, байесовский критерий имеет самую маленькую
«средневзвешенную ошибку» среди всех прочих критериев. По формуле полной вероятности это
есть вероятность ошибки критерия в случае (а)
или математическое ожидание потерь в случае (б).
Введем при класс критериев
.
Критерий называют наиболее мощным критерием
(НМК) размера
,
если
для любого другого критерия .
N.I.Chernova