Ограничимся, для простоты, задачей проверки двух простых гипотез. Пусть имеются критерии и с вероятностями ошибок первого и второго рода , и , .
Перечислим общепринятые подходы к сравнению критериев.
Критерий называют минимаксным критерием, если он не хуже всех других критериев в смысле минимаксного подхода.
Иначе говоря, минимаксный критерий имеет самую маленькую «наибольшую ошибку» среди всех прочих критериев.
а) если известно априори, что с вероятностью справедлива гипотеза , а с вероятностью гипотеза ,
б) если задана линейная «функция потерь»: потери от ошибочного решения равны , если происходит ошибка первого рода, и равны , если второго. Здесь уже не обязательно равно 1, но потери можно свести к единице нормировкой и .
Пусть априорные вероятности или потери и заданы. Говорят, что критерий не хуже критерия в смысле байесовского подхода, если
Критерий называют байесовским критерием, если он не хуже всех других критериев в смысле байесовского подхода.
Иначе говоря, байесовский критерий имеет самую маленькую «средневзвешенную ошибку» среди всех прочих критериев. По формуле полной вероятности это есть вероятность ошибки критерия в случае (а) или математическое ожидание потерь в случае (б).
Введем при класс критериев .
Критерий называют наиболее мощным критерием (НМК) размера , если
для любого другого критерия .
N.I.Chernova