next up previous index
Next:  Подходы к сравнению критериев   Up:  Проверка гипотез   Previous:  Проверка гипотез

7.1.   Две простые гипотезы

Рассмотрим подробно случай, когда имеются две простые гипотезы о распределении наблюдений:

\begin{displaymath}
H_1=\bigl\{\mathscr F=\mathscr F_1\bigr\}, \quad
 H_2=\bigl\{\mathscr F=\mathscr F_2\bigr\}.\end{displaymath}

Каков бы ни был критерий $\delta({\mathbf X})\,:\,{\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}^n\to\{H_1,H_2\}$, он принимает не более двух значений. То есть область ${\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}^n$ делится на две части ${\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}^n=S\cup({\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}^n\backslash S)$ так, что

\begin{displaymath}
\delta({\mathbf X})=\begin{cases}
H_1, & \textrm{если }{\mat...
 ...ash S, \cr
 H_2, & \textrm{если }{\mathbf X} \in S. \end{cases}\end{displaymath}

Область $S$, в которой принимается вторая (альтернативная) гипотеза, называют критической областью.

Определение 22.

Вероятность ошибки первого рода $\alpha_1=\alpha_1(\delta)$ называют размером или уровнем значимости критерия $\delta$:

\begin{displaymath}
\alpha_1=\alpha_1(\delta)={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}(\delta({\m...
 ...a({\mathbf X})=H_2)=
{\mathsf P}\,{\!}_{H_1}({\mathbf X}\in S).\end{displaymath}

Мощностью критерия $\delta$ называют величину $1-\alpha_2$, где $\alpha_2=\alpha_2(\delta)$ — вероятность ошибки второго рода критерия $\delta$. Мощность критерия равна

\begin{displaymath}
1-\alpha_2(\delta)=1-{\mathsf P}\,{\!}_{H_2}(\delta({\mathbf...
 ...({\mathbf X})= H_2)=
{\mathsf P}\,{\!}_{H_2}({\mathbf X}\in S).\end{displaymath}


Заметим, что вероятности ошибок первого и второго рода вычисляются при разных предположениях о распределении (если верна $H_1$ и если верна $H_2$), так что никаких раз и навсегда фиксированных соотношений (например, $\alpha_1=1-\alpha_2$, независимо от вида гипотез и вида критерия) между ними нет. Рассмотрим крайний случай, когда критерий, независимо от выборки, всегда принимает одну и ту же гипотезу.

Пример 29.

Имеются гипотезы $H_1$, $H_2$ и критерий $\delta({\mathbf X})\equiv H_1$, то есть $S$ пусто. Тогда

$\alpha_1={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}(\textrm{принять }~H_2)=0$, $\alpha_2={\mathsf P}\,{\!}_{H_2}(\textrm{принять }~H_1)=1$.

Наоборот: пусть имеются гипотезы $H_1$, $H_2$ и критерий $\delta({\mathbf X})\equiv H_2$, то есть $S={\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}^n$. Тогда

$\alpha_1={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}(\textrm{принять }~H_2)=1$, $\alpha_2={\mathsf P}\,{\!}_{H_2}(\textrm{принять }~H_1)=0$.


Примеры 29 и 30 показывают общую тенденцию: при попытке уменьшить одну из вероятностей ошибок критерия другая, как правило, увеличивается. Так, если уменьшать $\alpha_1={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}({\mathbf X}\in S)$ мы будем, сужая критическую область $S$, то одновременно будет уменьшаться мощность критерия $1-\alpha_2={\mathsf P}\,{\!}_{H_2}({\mathbf X}\in S)$.


Пример 30.

Имеется выборка объема 1 из нормального распределения ${\mathsf N}_{a,1}$ и две простые гипотезы о среднем: $H_1=\{a=0\}$ и $H_2=\{a=1\}$. Рассмотрим следующий критерий (при некотором вещественном $c$):

\begin{displaymath}
\delta(X_1)=\begin{cases}
H_1, & \textrm{если }X_1 \leqslant c, \cr
 H_2, & \textrm{если }X_1 \gt c. \end{cases}\end{displaymath}

Изобразим на графике соответствующие гипотезам плотности и вероятности ошибок первого и второго рода критерия $\delta$:

\begin{displaymath}
\alpha_1={\mathsf P}\,{\!}_{H_1}(\delta(X_1) = H_2)={\mathsf...
 ...2}(\delta(X_1) = H_1)={\mathsf P}\,{\!}_{H_2}(X_1 \leqslant c).\end{displaymath}


Рис. 8: Две простые гипотезы.

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength=1mm
\begin{picture}
(101,16)

\linethi...
 ...,2){\makebox(0,0)[rb]{{\small $\alpha_1$}}}\end{picture}\end{center}\end{figure}


Видим, что с ростом $c$ вероятность ошибки первого рода $\alpha_1$ уменьшается, но вероятность ошибки второго рода $\alpha_2$ растет.


Итак, критерий тем лучше, чем меньше вероятности его ошибок. Но сравнивать критерии по паре вероятностей ошибок

\begin{displaymath}
\alpha_i(\delta_1)\leqslant \alpha_i(\delta_2) \quad \textrm{ при }\quad i=1,2,\end{displaymath}

как правило, не удается.



N.I.Chernova
9 сентября 2002