Рассмотрим подробно случай, когда имеются две простые гипотезы о распределении наблюдений:
Каков бы ни был критерий , он принимает не более двух значений. То есть область делится на две части так, что
Область , в которой принимается вторая (альтернативная) гипотеза, называют критической областью.
Вероятность ошибки первого рода называют размером или уровнем значимости критерия :
Мощностью критерия называют величину , где вероятность ошибки второго рода критерия . Мощность критерия равна
Заметим, что вероятности ошибок первого и второго рода вычисляются при разных предположениях о распределении (если верна и если верна ), так что никаких раз и навсегда фиксированных соотношений (например, , независимо от вида гипотез и вида критерия) между ними нет. Рассмотрим крайний случай, когда критерий, независимо от выборки, всегда принимает одну и ту же гипотезу.
Имеются гипотезы , и критерий , то есть пусто. Тогда
, .
Наоборот: пусть имеются гипотезы , и критерий , то есть . Тогда
, .
Примеры 29 и 30 показывают общую тенденцию: при попытке уменьшить одну из вероятностей ошибок критерия другая, как правило, увеличивается. Так, если уменьшать мы будем, сужая критическую область , то одновременно будет уменьшаться мощность критерия .
Имеется выборка объема 1 из нормального распределения и две простые гипотезы о среднем: и . Рассмотрим следующий критерий (при некотором вещественном ):
Изобразим на графике соответствующие гипотезам плотности и вероятности ошибок первого и второго рода критерия :
Видим, что с ростом вероятность ошибки первого рода уменьшается, но вероятность ошибки второго рода растет.
Итак, критерий тем лучше, чем меньше вероятности его ошибок. Но сравнивать критерии по паре вероятностей ошибок
как правило, не удается.
N.I.Chernova