next up previous index
Next:  Преобразования нормальных выборок   Up:  Распределения, связанные с нормальным   Previous:  Распределение Стьюдента и его

6.4.   Распределение Фишера

Определение 18.

Пусть $\chi^2_k$ имеет распределение ${\mathsf H}_k$, а — распределение ${\mathsf H}_m$, причем эти случайные величины независимы. Распределение случайной величины

\begin{displaymath} f_{k,m}=\dfrac{\raisebox{.4\height}{$\chi^2_k$}/\raisebox{-.... ...sebox{-.4\height}{$m$}}= \dfrac{m\cdot\chi^2_k}{k\cdot\chi_m^2}\end{displaymath}

называют распределением Фишера с $k$, $m$ степенями свободы и обозначают ${\mathsf F}_{k,m}$.

Свойства распределения Фишера (или Фишера — Снедекора):

1.
  Если $h_{k,m}$ имеет распределение Фишера ${\mathsf F}_{k,m}$, то $1/h_{k,m}$ имеет распределение Фишера ${\mathsf F}_{m,k}$.
2.
  Распределение Фишера ${\mathsf F}_{k,m}$ слабо сходится к вырожденному в точке 1 распределению ${\mathbf I}_1$ при любом стремлении $k$ и $m$ к бесконечности.
Доказательство.  Убедитесь по ЗБЧ, что любая последовательность случайных величин $h_{k,m}$, распределение которой совпадает с распределением отношения двух средних арифметических

\begin{displaymath} \dfrac{\xi_1^2+\ldots+\xi_k^2}{k} \textrm{\quad и \quad } \dfrac{\eta_1^2+\ldots+\eta_m^2}{m}, \end{displaymath}

сходится к 1 по вероятности при $k\to\infty$, $m\to\infty$. Здесь $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ и $\eta_1$, $\eta_2$, $\ldots$ — независимые последовательности, составленные из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением.

Q.D.E.

N.I.Chernova
9 сентября 2002