next up previous index
Next:  Эмпирическая функция распределения   Up:  Основные понятия МС   Previous:  Основные понятия выборочного метода

1.2.   Выборочное распределение

Рассмотрим реализацию выборки на одном элементарном исходе $\omega_0$ — набор чисел $X_1=X_1(\omega_0)$, $\ldots$, $X_n=X_n(\omega_0)$. На подходящем вероятностном пространстве введем случайную величину $\xi^*$, принимающую значения $X_1$, $\ldots$, $X_n$ с вероятностями по $1/n$ (если какие-то из значений совпали, сложим вероятности соответствующее число раз). Таблица распределения вероятностей и функция распределения случайной величины $\xi^*$ выглядят так:

$\xi^*$ $X_1$   $\ldots$   $X_n$  
${\mathsf P}\,$ $1/n$ $\ldots$   $1/n$

\begin{displaymath} F_n^*(y)=\sum\limits_{X_i <y}\dfrac{1}{n}= \dfrac{\textrm{ количество } X_i \in (-\infty, y)}{n}.\end{displaymath}

Распределение величины $\xi^*$ называют эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины $\xi^*$ и введем обозначения для этих величин:

\begin{displaymath} {\mathsf E}\, \xi^*=\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{n}\,X_i=\d... ...um\limits_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2\,=\,{ \color {red} S^2}.\end{displaymath}

Точно так же вычислим и момент порядка $k$

\begin{displaymath} {\mathsf E}\, \left(\xi^*\right)^k=\sum\limits_{i=1}^n \dfra... ...sum\limits_{i=1}^n X_i^k \,=\,{ \color {red} \overline {X^k}}.\end{displaymath}

В общем случае обозначим через ${ \color {red} \overline {g(X)}}$ величину

\begin{displaymath} {\mathsf E}\, g(\xi^*)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n g(X_i)={ \color {red} \overline {g(X)}}.\end{displaymath}

Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборку $X_1$,  $\ldots$,  $X_n$ набором случайных величин, то и сами эти характеристики — $F_n^*(y)$, $\overline X$, $S^2$, $\overline {X^k}$, $\overline {g(X)}$ — станут величинами случайными. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.

Причина использования характеристик распределения $\xi^*$ для оценки характеристик истинного распределения $\xi$ (или $X_1$) — в близости этих распределений при больших $n$.

Рассмотрим, для примера, $n$ подбрасываний правильного кубика. Пусть $X_i\in\{1,\ldots,6\}$ — количество очков, выпавших при $i$-м броске, $i=1, \ldots, n$. Предположим, что единица в выборке встретится $n_1$ раз, двойка — $n_2$ раз и т.д. Тогда случайная величина $\xi^*$ будет принимать значения 1, $\ldots$, 6  с вероятностями , $\ldots$,  соответственно. Но эти пропорции с ростом $n$ приближаются к $1/6$ согласно закону больших чисел. То есть распределение величины $\xi^*$ в некотором смысле сближается с истинным распределением числа очков, выпадающих при подбрасывании правильного кубика.

Мы не станем уточнять, что имеется в виду под близостью выборочного и истинного распределений. В следующих параграфах мы подробнее познакомимся с каждой из введенных выше характеристик и исследуем ее свойства, в том числе ее поведение с ростом объема выборки.


N.I.Chernova
9 сентября 2002