Итак, пусть ,
,
выборка объема
из параметрического семейства распределений
,
.
Заметим, что все характеристики случайных величин ,
,
зависят от параметра
. Так, например, для
с распределением Пуассона
Чтобы отразить эту зависимость, будем писать вместо
и т.д. Так,
означает дисперсию, вычисленную
в предположении
.
Во многих случаях эта условность необходима. Предположим, что
имеют распределение Пуассона
. В предположении, что
, имеем
, тогда как при
имеем
. Таким образом, запись
, без указания на распределение
,
оказывается просто бессмысленной.
Статистика есть функция от эмпирических данных,
но никак не от параметра . Статистика, как правило, предназначена именно
для оценивания неизвестного параметра
(поэтому ее иначе называют «оценкой»),
и уже поэтому от него зависеть не может.
Конечно, статистика есть не «любая», а «измеримая»
функция от выборки
(борелевская, для которой прообраз любого борелевского множества из
есть снова борелевское множество в
),
но мы никогда не встретимся с иными функциями, и более
на это обращать внимание не будем.
Статистика называется несмещенной
оценкой параметра
, если для любого
выполнено
равенство
.
Статистика называется состоятельной
оценкой параметра
, если для любого
имеет место
сходимость
при
.
Несмещенность свойство оценок при фиксированном . Означает это свойство отсутствие ошибки «в среднем», т.е. при
систематическом использовании данной оценки.
Свойство состоятельности означает, что последовательность оценок приближается к неизвестному параметру при увеличении количества данных. Понятно, что при отсутствии этого свойства оценка совершенно «несостоятельна» как оценка.
Пусть ,
,
выборка объема
из нормального
распределения
, где
,
. Как найти оценки для параметров
и
, если оба эти
параметра (можно считать это и одним двумерным параметром) неизвестны?
Мы уже знаем хорошие оценки для математического ожидания и дисперсии любого распределения.
Оценкой для истинного среднего может служить
выборочное среднее
. Свойство 2 утверждает, что эта оценка несмещенная и состоятельная.
Для дисперсии у нас есть сразу две
оценки:
и
(выборочная дисперсия и несмещенная выборочная дисперсия).
Как показано в свойстве 4, обе эти оценки состоятельны, и одна из них несмещенная. которая?
Следующий метод получения оценок для неизвестных параметров как раз и предлагает использовать выборочные моменты вместо истинных.
N.I.Chernova