Параметрические семейства распределений

Next: Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность Up: Точечное оценивание Previous: Точечное оценивание

2.1. Параметрические семейства распределений

Предположим, что имеется выборка объема , элементы которой , $\ldots$ , независимы, одинаково распределены и имеют распределение $\mathscr F_\theta$ , известным образом зависящее от неизвестного параметра $\theta$ .

Здесь $\mathscr F_\theta$ — некий класс распределений, целиком определяющихся значением скалярного или векторного параметра $\theta$ . Параметр $\theta$ принимает значения из некоторого множества $\Theta$ .

Например, для всех $i=1, \ldots, n$

имеют распределение Пуассона $\text{\boldmath\ensuremath \Pi}_\lambda$ , где $\lambda\gt$ — неизвестный параметр; здесь $\mathscr F_\theta=\text{\boldmath\ensuremath \Pi}_\lambda$ , $\theta=\lambda$ , $\Theta=(0,\infty)$ ;
имеют распределение Бернулли ${\mathsf B}_p$ , где $p\in (0,1)$ — неизвестный параметр; здесь $\mathscr F_\theta={\mathsf B}_p$ , $\theta=p$ , $\Theta=(0,1)$ ;
имеют равномерное распределение ${\mathsf U}_{a,b}$ , где — неизвестные параметры; здесь $\mathscr F_\theta= {\mathsf U}_{a,b}$ , $\theta=(a,b)$ , $\Theta=\{(a,b)~:~a<b \}$ ;
имеют равномерное распределение ${\mathsf U}_{0,\theta}$ , где $\theta\gt$ — неизвестный параметр; здесь $\mathscr F_\theta= {\mathsf U}_{0,\theta}$ , $\Theta=(0,\infty)$ ;
имеют нормальное распределение ${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$ , где $a\in {\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ , $\sigma\gt$ — неизвестные параметры; здесь $\mathscr F_\theta= {\mathsf N}_{a,\sigma^2}$ , $\theta=(a,\sigma^2)$ , $\Theta={\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}\times (0,\infty)$ ;
имеют нормальное распределение ${\mathsf N}_{a,4}$ , где $a\in {\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ — неизвестный параметр; здесь $\mathscr F_\theta= {\mathsf N}_{a,4}$ , $\theta=a$ , $\Theta={\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ .

Такая постановка имеет смысл, поскольку редко о проводимом эксперименте совсем ничего нельзя сказать. Обычно тип распределения ясен заранее, и требуется лишь указать значения параметров этого распределения.

Так, в широких предположениях рост юношей одного возраста имеет нормальное распределение (с неизвестными средним и дисперсией), а число покупателей в магазине в течение часа (не часа пик) — распределение Пуассона, и опять-таки с неизвестной «интенсивностью» $\lambda$ .

N.I.Chernova 9 сентября 2002