и 
независимы, то
;
;
тогда и только тогда, когда
и п. н. линейно связаны, т.е.
существуют числа 
и 
такие, что 
.
и 
дисперсии
и соответственно, и рассмотрим неотрицательную (почему?)
дисперсию любой из двух случайных величин 
:
Мы получили два полезных соотношения:
 | (20) |
Из них сразу следует, что 
.
Не забудьте, что 
, а не просто 
!
Докажем вторую часть свойства (3): если , то
существуют числа и такие, что .
Рассмотрим сначала случай 
.
Это возможно только если второе неравенство в формуле (20) превращается в равенство:
т.е. 
. Тогда, по свойству (D3), 
п.н., где 
— некоторое число.
Иначе говоря, 
п.н., или
В случае 
нужно рассмотреть первое
неравенство в формуле (20) и повторить рассуждения.
Тем самым теорема 31 доказана.
QED
и отрицательно коррелированы,
если 
, положительно коррелированы,
если 
, и некоррелированы, если . 
хорошо виден в случае
. Тогда знак 
равен знаку в равенстве 
п.н. Так,
означает, что чем больше , тем больше и . Напротив, означает, что чем больше , тем меньше .
Похожим образом можно трактовать знак коэффициента корреляции
и в случае, когда 
, помня при этом, что
зависимость между и теперь уже не линейная и, возможно, даже не функциональная.
Так, величины и 
в примерах 49 и 50
положительно коррелированы, но их зависимость не функциональная.
Следующее свойство показывает, что модуль коэффициента корреляции не меняется при линейных преобразованиях случайных величин.
и с конечной и ненулевой дисперсией
при любых постоянных и имеет место равенство:
, не забывая про свойства дисперсии:
Осталось заметить, что знак как раз и равен 
.
QED
N.Ch.