next up previous contents index
Next:  Случайные величины и их   Up:  Схема Бернулли   Previous:  Приближение гипергеометрического распределения биномиальным

§ 5. Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений, вычислить которые довольно сложно:

Сформулируем теорему о приближённом вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать . Если при этом , то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха стремилась к нулю одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому нам придётся рассмотреть так называемую «схему серий»: если испытание одно, то вероятность успеха в нём равна , если испытаний два, то вероятность успеха в каждом — , и т.д. Если испытаний , то в каждом из них вероятность успеха равна . Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний.

Теорема 15   (теорема Пуассона(1)). Пусть и так, что . Тогда для любого вероятность получить успехов в  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине :

Доказательство. Положим . Тогда  и

(8)

В соотношении (8) мы воспользовались тем, что и замечательным пределом . Докажем последнее свойство:

QED

Определение 25. Набор чисел называется распределением Пуассона с параметром .
По теореме 15 можно приближённо посчитать вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку «велико», а «мало», то, взяв , можно записать приближённое равенство

(9)

Осталось решить, а достаточно ли велико, а мало, чтобы заменить точную вероятность на приближённое значение . Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.

Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономии времени, доказывать не станем.

Теорема 16.   (уточнённая теорема Пуассона). Пусть — произвольное множество целых неотрицательных чисел, — число успехов в  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха , . Тогда

Таким образом, теорема 16 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли велико, а мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (9)? Взяв , имеем:

Можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах (0,034 - 0,009, 0,034 + 0,009) = (0,025, 0,043).

На самом деле можно уточнить оценку в теореме 16. Например, можно доказать, что погрешность даже меньше, чем . В нашем примере это втрое уменьшает оценку для погрешности —0,003 вместо 0,009, уточняя границы для истинной вероятности: (0,031, 0,037).


1Siméon Denis Poisson (21.06.1781 — 25.04.1840, France)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N.Ch.