next up previous contents index
Next:  Теорема Пуассона для схемы Бернулли   Up:  Схема Бернулли   Previous:  Независимые испытания с несколькими

§ 4. Приближение гипергеометрического распределения биномиальным

Рассмотрим урну, содержащую шаров, из которых шаров — белые, а оставшиеся шаров — чёрные. Из урны наудачу (без возвращения) выбираются шаров. Вероятность того, что будет выбрано ровно белых и чёрных шаров, находится по формуле (см. определение 8 гипергеометрического распределения вероятностей):

Если число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трёх шаров почти не меняет пропорцию белых и чёрных шаров в урне, так что вероятности не очень отличаются от вероятностей в процедуре выбора с возвращением:

Сформулируем и докажем нашу первую предельную теорему.

Теорема 14. Если и так, что , то для любых фиксированных и

Доказательство. Перепишем следующим образом:

И в числителе, и в знаменателе дроби — произведение фиксированного числа сомножителей, поэтому и дробь есть произведение сомножителей. Каждый из первых сомножителей имеет вид при некоторых фиксированных и и стремится к при . Каждый из оставшихся сомножителей имеет вид и стремится к  при . Окончательно имеем

QED


N.Ch.