Рассматривается ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона Z(n), n≥0, с производящей функцией f(s):=Esξ числа ξ непосредственных потомков одной частицы. Пусть
f0(s) = s и fn(s) = f(fn−1(s)), n = 1, 2, …
Будем предполагать, что
Eξ = 1, f(s) = Esξ = s + (1 − s)1+αL(1 − s), 0 ≤ s ≤ 1,
где α ∈ (0,1) и L(z)-- медленно меняющаяся функция при z↓0. Известно, что если выполнено условие выше, то
limn→∞ P((1 − fn(0))Z(n) ≤ x | Z(n) > 0, Z(0) = 1) = M(x),
где M(x) -- собственное невырожденное распределение, M(0)=0.
Таким образом, при условии невырождения к моменту n размер популяции критического ветвящегося процесса Гальтона-Ватосна в этот момнет имеет порядок 1/(1−fn(0)).
Пусть теперь φ(n), n=1,2,…, -- детерминированная функция такая, что при n→∞
φ(n) → ∞ и φ(n) = o(n).
Заметим, что в этом случае 1−fn(0)=o(1−fφ(n)(0)) при n→∞.
Таким образом, при условии невырождения к моменту n значения порядка 1/(1−fφ(n)(0)) являются для случайной величины Z(n) нетипичными. Именно такая ситуация и рассматривается в докладе.
Точнее, в предположении, что выполнены условия выше, мы опишем как, в зависимости от сооотношения между параметрами m<n, меняется предел распеределения соответствующим образом нормированной случайной величины Z(m) при условии
0 < Z(n) < 1/(1 − fφ(n)(0))
и n→∞.
Благодарности
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда N 24-11-00037 https://rscf.ru/ru/project/24-11-00037/