next up previous contents index
Next:  Независимые испытания с несколькими   Up:  Схема Бернулли   Previous:  Распределение числа успехов в

§ 2. Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. Введём величину со значениями 1, 2, 3, ..., равную номеру первого успешного испытания.
Теорема 11. Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером , равна  .
Доказательство. Вероятность первым испытаниям завершиться неудачей, а последнему — успехом, равна

.

QED

Определение 24. Набор чисел называется геометрическим распределением вероятностей.
Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения».
Теорема 12. Пусть для любого . Тогда для любых неотрицательных целых и имеет место равенство:

Если, например, считать величину временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающему устройству проработать ещё сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчёт времени, или от того, сколько уже работает устройство. Правильное название этого свойства — свойство «отсутствия последействия».
Доказательство. По определению условной вероятности,

(7)

Последнее равенство следует из того, что событие влечёт событие , поэтому пересечение этих событий есть . Найдём для целого вероятность :

Можно получить и ещё проще: событие означает в точности, что в схеме Бернулли первые испытаний завершились «неудачами», т.е. его вероятность равна . Возвращаясь к (7), получим

QED


N.Ch.