Наилучшие линейные несмещенные оценки

Next: Вопросы и упражнения Up: Эффективные оценки Previous: Неравенство Рао

4.5. Наилучшие линейные несмещенные оценки

В плане подготовки к курсу «Эконометрика» полезно заметить следующее: в практической статистике часто рассматривают оценки, являющиеся линейными (и по возможности несмещенными) функциями от выборки, то есть оценки вида $\theta^*=\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ . В классе таких оценок наилучшая в смысле среднеквадратического подхода оценка обычно находится и без неравенства Рао — Крамера (что особенно полезно для нерегулярных семейств) — достаточно минимизировать $\displaystyle\sum a_i^2$ при заданной $\displaystyle\sum a_i$ . Такую оценку принято называть «наилучшей линейной несмещенной оценкой», или, по английски, BLUE ("best linear unbiased estimate"). Так, скажем, для распределения ${\mathsf U}_{0,\theta}$ оценка $\theta^*_0=2\overline X$ является BLUE, так как ее дисперсия найти! или вспомнить пример 11 не больше доказать! дисперсии любой оценки вида $\theta^*=\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ , где $\sum\limits_{i=1}^n a_i=2$ . почему это гарантирует несмещенность? Справедливости ради следует добавить (см. пример 11), что оценка $\theta^*_0=2\overline X$ , хоть и является BLUE, не может конкурировать в среднеквадратичном смысле с нелинейной оценкой $\hat\theta=\tfrac{n+1}{n}X_{(n)}$ (которая является эффективной в классе несмещенных оценок, но этого мы доказывать не станем).

N.I.Chernova 9 сентября 2002