Вернемся к сравнению оценок в смысле среднеквадратического подхода. В классе одинаково смещенных оценок эффективной мы назвали оценку с наименьшим среднеквадратическим отклонением (или наименьшей дисперсией). Но попарное сравнение оценок далеко не лучший способ отыскания эффективной оценки. Сегодня мы познакомимся с утверждением, позволяющим во многих случаях доказать эффективность оценки (если, конечно, она на самом деле эффективна).
Это утверждение называется неравенством Рао Крамера и говорит о том, что в любом классе существует нижняя граница для среднеквадратического отклонения любой оценки.
Таким образом, если найдется оценка, отклонение которой в точности равно этой нижней границе (самое маленькое), то данная оценка эффективна, поскольку у прочих оценок отклонение меньше быть не может.
К сожалению, данное неравенство верно лишь для так называемых «регулярных» семейств распределений, к которым не относится, например, большинство равномерных.
N.I.Chernova