next up previous index
Next:  Метод максимального правдоподобия   Up:  Точечное оценивание   Previous:  Метод моментов

2.4.   Состоятельность оценок метода моментов

Теорема 3.

Пусть $\theta^*=h^{-1}\left(\overline{g(X)}\right)$ — оценка параметра $\theta$, полученная по методу моментов, причем функция $h^{-1}$ непрерывна. Тогда $\theta^*$ состоятельна.

Доказательство теоремы 3.

По ЗБЧ Хинчина имеем:

\begin{displaymath} \overline{g(X)}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^ng(X_i) \buildrel {p} \over \longrightarrow {\mathsf E}_\theta\, g(X_1)=h(\theta).\end{displaymath}

Поскольку функция $h^{-1}$ непрерывна, то и

\begin{displaymath} \theta_*=h^{-1}\left(\overline{g(X)}\right) \buildrel {p} \o... ...h^{-1}({\mathsf E}_\theta\, g(X_1))= h^{-1}(h(\theta))=\theta.\end{displaymath}

Q.D.E.


Напоминание:    Для обратимой, т.е. взаимно-однозначной функции $h:{\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}\to{\textrm{\upshape I\kern-0.20em R}}$ непрерывность $h$ и непрерывность $h^{-1}$ эквивалентны.


Если полученные разумным путем оценки обязаны быть состоятельными, то свойство несмещенности — скорее исключение, нежели правило.

Действительно, несмещенность ОММ вида $\theta^*=h^{-1}\left(\overline{g(X)}\right)$ означала бы, что при всех $\theta \in \Theta$ выполнено равенство

\begin{equation} { \color {red} {\mathsf E}_\theta\,} h^{-1}\left( \overline{g(... ...left( { \color {red} {\mathsf E}_\theta\,}\overline{g(X)}\right).\end{equation}(5)

Но функция $h^{-1}$ очень часто оказывается выпуклой или вогнутой. В этом случае неравенство Йенсена утверждает, что между левой и правой частью в (5) равенство возможно лишь если случайная величина $\overline {g(X)}$ вырождена или если функция $h^{-1}$ линейна в области значений этой случайной величины.

Рассмотрим, к примеру, последовательность оценок для неизвестного параметра $\theta$ равномерного на отрезке $[0,\,\theta]$ распределения, полученную в примере 4 и исследуем напрямую их свойства.

Состоятельность:   

1.
По ЗБЧ, $\theta^*_1=2\overline X \buildrel {p} \over \longrightarrow 2{\mathsf E}_\theta\, X_1= 2{\theta}/{2}=\theta$, т.е. оценка $\theta^*_1=2\overline X$ состоятельна.
2.
Заметим, что по ЗБЧ (или по свойству 3 — только для тех, кто его доказал) при $n\to\infty$

\begin{displaymath} \overline {X^k} \buildrel {p} \over \longrightarrow {\mathsf E}_\theta\, X_1^k=\dfrac{\theta^k}{k+1}.\end{displaymath}

Поскольку функция $\sqrt[k]{(k+1)y}$ непрерывна для всех $y\gt$, то при $n\to\infty$

\begin{displaymath} \theta^*_k=\sqrt[k]{(k+1)\overline {X^k}} \buildrel {p} \over \longrightarrow \sqrt[k]{(k+1) \dfrac{\theta^k}{k+1}}=\theta.\end{displaymath}

Упражнение.   Зачем нужна ссылка на непрерывность функции $\sqrt[k]{(k+1)y}$?

Несмещенность:  

1.
По определению,

\begin{displaymath} % latex2html id marker 9625 {\mathsf E}_\theta\,\theta^*_1={... ...ne X= \textrm{ (по свойству \ref{le1}) } =2{\theta}/{2}=\theta,\end{displaymath}

т.е. оценка $\theta^*_1=2\overline X$ несмещенная.

2.
Рассмотрим оценку $\theta^*_2$. Заметим, что

\begin{displaymath} {\mathsf E}_\theta\,\theta^*_2={ \color {red} {\mathsf E}_\theta\,} \sqrt{3\overline{X^2}},\end{displaymath}

тогда как по свойству 2

\begin{displaymath} \theta=\sqrt{3{\mathsf E}_\theta\,{X_1^2}}=\sqrt{3{ \color {red} {\mathsf E}_\theta\,}\overline{X^2}}.\end{displaymath}

Равенство ${\mathsf E}_\theta\,\theta^*_2=\theta$ означало бы, что для случайной величины $\xi=3\overline{X^2}$ выполнено ${\mathsf E}_\theta\, \sqrt{\xi}=\sqrt{{\mathsf E}_\theta\,\vphantom{\raisebox{1pt}{E}} \xi}$, а для величины $\eta=\sqrt{\xi}$ выполнено ${\mathsf E}_\theta\, \eta^2=({\mathsf E}_\theta\, \eta)^2$ или ${\mathsf D}_\theta\, \eta=0$.

Но величина $\displaystyle\eta=\sqrt{3\overline{X^2}}$ имеет невырожденное (более того, абсолютно непрерывное) распределение. Поэтому оценка $\displaystyle\theta^*_2= \sqrt{3\overline{X^2}}$ — смещенная.

Такими же смещенными будут и оценки $\theta^*_k, k\gt 2$. Докажите это, воспользовавшись, как в (5), неравенством Йенсена.

То есть вся последовательность $\bigl\{\theta^*_k\bigr\}_{k=1}^\infty=\left\{\sqrt[k]{(k+1)\overline {X^k}}\right\}$ состоит из состоятельных оценок, при этом только оценка $\theta^*_1=2\overline X$ — несмещенная.


N.I.Chernova
9 сентября 2002