Next: Случайные величины Up: Оглавление Previous: Схема Бернулли.

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

7.1. Равновероятно.

7.2. $\displaystyle\frac{1}{n}$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{m_i}{N_i}$.

7.3.  0,4.

7.4.  0,52.

7.5. а) 2 белых и 3 черных шара; б) $42/125$.

7.6. а) 1. б) $0{,}25$.в) $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(2n-1)!!}{2^{n+2}(n+2)!}=?$, где $(-1)!!\equiv 1$.

7.7. $\dfrac{m}{m+n}$.

7.8. $\dfrac{m-2}{n+m-2}$.

7.9. $\mathsf P(A)=\dfrac{231}{495}$, $\mathsf P(B)=\dfrac{159}{495}$.

7.10. $0{,}6$.

7.11. $1-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kp^k{(1-p_0)}^k{(1-p)}^{n-1-k}$.

7.12. $\dfrac{p^2(14-8p)}{9}$.

7.13. $1-{(1-p(1-r))}^n$.

7.14. Вероятнее, что $C$ попал в мишень.

7.15. $p_k\prod\limits_{i=1}^{k-1}(1-p_i)\cdot\dfrac{\phantom{)^n} 1-{\left(\prod\limits_{i=1}^{N}(1-p_i)\right)}^n}{1-\prod\limits_{i=1}^{N}(1-p_i)}$.

7.16. $0{,}5625$.

7.17. а) $0{,}0572$; б) $0{,}9979..$.

7.18. $\dfrac{kp_2}{p_1+kp_2}$.

7.19. $0{,}9524..$.

7.20. $\dfrac{{(\lambda p)}^k}{k!}e^{-\lambda p}$.

7.21. $\dfrac{2p}{1+p}\cdot{\left(1-\dfrac{2p}{1+p}\right)}^k$. Указание. Здравый смысл подсказывает, что под геометрическим распределением в условии понимается распределение числа неудач до первого успеха: \begin{displaymath} \mathsf P(\textrm{число потомков}=k)=p\cdot q^k,\ k=0,1,\ldots.\end{displaymath}Ответ приведен для этого условия. В любом случае следует воспользоваться равенством \begin{displaymath} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}C_{n+k}^n x^k=\dfrac{1}{{(1-x)}^{n+1}}.\end{displaymath}

7.22. а) $0{,}5$; б) $0{,}6$; в) $\dfrac{2^n}{2^n+1}$.

7.23. а) 1/132; б) 1/12.

7.24. $e^{-\alpha t}$.

7.25. $1-\textrm{exp}\left\{-\displaystyle\int\limits_0^t\alpha(u)\,du\right\}$.

7.26. Для $(n-1)\tau\le t\le n\tau$

\begin{displaymath} e^{-\alpha t}\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{\alpha^k{\left(t-(k-1)\tau\right)}^k}{k!}.\end{displaymath}

7.27. $e^{-\lambda t}$.

7.28. $\dfrac{{(\lambda t)}^{i-1}}{(i-1)!}\,e^{-\lambda t}$.

7.29. \begin{displaymath} \begin{cases} &P_r'(t)=-(\alpha+\beta)P_r(t)+\beta P_{r-1}(t... ... &P_0'(t)=-\beta P_0(t)+\alpha P_1(t),\cr &P_n(0)=1.\end{cases}\end{displaymath}

7.30. $\dfrac{a}{a+b}$.

7.31. $\dfrac{1-{(q/p)}^a}{1-{(q/p)}^{a+b}}$.

7.32. Та же самая.

7.33. $0{,}3398...$.

7.34. $0{,}108$; $0{,}2678...$.

7.35. $1-(1-p)^n-np(1-p)^{n-1}-\displaystyle\sum\limits_{m=2}^nC_n^mp^m(1-p)^{n-m}\dfrac{1}{k^{m-1}}$.

7.36. "Какая гадость эта ваша заливная рыба..."

7.37. $1-\displaystyle\left\{\sum\limits_{i=1}^4\dfrac{C_{a_i}^2}{C_N^2}(1-p_i)^2+ \displaystyle\sum\limits_{i<j}\dfrac{a_ia_j}{C_N^2}(1-p_i)(1-p_j) \right\}$.

7.38. $1-(1-p)^n-np(1-p)^{n-1}(1-p_0)$.

7.39. Лениво.

7.40. $\dfrac{C_a^2}{C_{a+b}^2}\cdot\dfrac{C_{a-2}^2}{C_{a+b}^2} +\dfrac{C_b^2}{C_{a+b... ...{a}^2}{C_{a+b}^2}+ \dfrac{a\cdot b}{C_{a+b}^2}\cdot\dfrac{C_{a-1}^2}{C_{a+b}^2}$.

7.41. ;   .

7.42. а) $q_4(q_1+q_2q_3-q_1q_2q_3)$; б) $q_3q_4(q_1+q_2-q_1q_2)$; здесь $q_k=1-p_k$.


Natalia Chernova
2/19/2002