1.1. ; а) все юноши не курят и не живут в общежитии; б) все, кто не живет в общежитии, не курят. Или: все курящие живут в общежитии; в) девушки, и только они, не курят; г) множество пусто.
1.2. . .
1.3. а) да; б) нет.
1.4. а) содержится и в , и в ; б) содержит и , и .
1.5. а) , т.е. ; б) ; в) .
1.6. a) нет, ; б) нет, ; в) да; г) нет, ; д) нет, ; е) да; ж) нет, ; з) да; и) нет, ; к) да; л) да.
1.7. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .
1.8. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
1.9. .
1.10. Пусть . Тогда принадлежит каждому из . Или, что то же самое, для любого , т.е. не лежит ни в одном из множеств , и, стало быть, не лежит в их объединении . Т.е. лежит в его дополнении . Таким образом, мы доказали, что . В обратную сторону аналогично.
1.11. , .
Указание: --
событие, состоящее в том, что произойдет бесконечно много событий из ,
, ...;
--
событие, состоящее в том, что произойдут все , , ...,
за исключением, возможно, лишь конечного числа.
1.12. а) Например, .
1.13. Воспользуйтесь методом математической индукции.
1.14. Докажите, что .