Основы теории вероятностей
и математической статистики
ЭФ, отделение "Математические методы и исследование
операций в экономике"
Теория вероятностей
- Математическая статистика
- Расчетное задание по математической статистике
(3 семестр, 36 ч. лекций
+ 18 ч. практич. занятий)
Раздел 1. Основные понятия выборочного метода
- 3 час. лек. Определение выборки, эмпирического распределения
как распределения выборочной случайной величины.
Эмпирическая функция распределения, гистограмма, выборочные моменты.
Выборочная дисперсия, несмещенная выборочная дисперсия.
Несмещенность выборочных характеристик: свойства выборочных моментов,
выборочной дисперсии, эмпирической функции распределения.
Сходимость эмпирических характеристик к теоретическим
(выборочных моментов, выборочной дисперсии,
эмпирической функции распределения, эмпирических вероятностей).
Скорость сходимости (асимптотическая нормальность) выборочных
характеристик: выборочных моментов, дисперсии, ЭФР.
Теоремы Гливенко — Кантелли и Колмогорова (без доказательства).
Раздел 2. Проверка гипотез
- 3 час. лек.
Постановка задачи о проверке гипотез. Основные
виды гипотез. Определение нерандомизированного критерия. Вероятности ошибок.
Мощность критерия. Проверка двух простых гипотез. Способы
сравнения критериев. Понятие НМК. Критерий отношения правдоподобия в случае
непрерывного отношения правдоподобия.
Лемма
Неймана — Пирсона
как способ построения минимаксного, байесовского
и наиболее мощного критериев (без доказательства).
- 3 час. лек.
Критерии согласия. Общий принцип построения критериев согласия.
Понятие состоятельности критерия.
Критерий Колмогорова. Определение c2 распределения.
Критерии c2 Пирсона для проверки
простой гипотезы и для проверки параметрической гипотезы. Состоятельность
критериев Колмогорова и c2 Пирсона.
- 2 час. лек.
Задачи сравнения двух выборок. Гипотеза однородности: критерий
Колмогорова — Смирнова. Ранговые критерии. Гипотеза независимости:
критерий c2 Пирсона.
Раздел 3. Оценивание неизвестных параметров
- 2 час. лек.
Параметрические семейства распределений (примеры). Определение
статистики. Несмещенность, состоятельность оценок.
Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия.
Состоятельность оценок метода моментов.
- 3 час. лек.
Среднеквадратический подход к сравнению оценок. Эффективность
оценок. Единственность эффективной оценки в классе с фиксированным смещением.
Асимптотически нормальные оценки (АНО). Асимптотическая нормальность и ЦПТ.
Асимптотический подход к сравнению
оценок. Асимптотическая нормальность оценок метода моментов.
Состоятельность асимптотически нормальных оценок.
- 3 час. лек.
Условия регулярности. Регулярные и нерегулярные семейства распределений.
Неравенство Рао — Крамера и его использование
для проверки эффективности оценок.
Раздел 4. Доверительное оценивание неизвестных параметров
- 2 час. лек.
Точные и асимптотические доверительные интервалы. Смысл доверительного
оценивания. Способы построения доверительных интервалов: ЦПТ, АНО,
сходимость к известному распределению.
- 4 час. лек.
Распределения, связанные с нормальным: гамма-распределение
Ga,
l,
распределение хи-квадрат Пирсона Hn, распределение Фишера, распределение
Стьюдента Tn, их взаимосвязь и свойства. Лемма Фишера.
Свойства выборок из нормального распределения.
Построение точных доверительных интервалов для параметров
нормального распределения.
Раздел 5. Критерии однородности для нормальных выборок
- 2 час. лек.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных совокупностей
(критерий Фишера).
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных совокупностей
(критерий Стьюдента). Упр.: его состоятельность.
- 2 час. лек.
Доказательство теоремы Пирсона о сходимости статистики хи-квадрат
к распределению хи-квадрат.
Раздел 6. Простая линейная регрессия
- 3 час. лек.
Определение регрессии. Метод максимального правдоподобия и его связь
с методом наименьших квадратов. Линейная регрессия.
Нормальное уравнение. Оценка максимального правдоподобия
для дисперсии ошибок. Несмещенная оценка дисперсии ошибок.
План семинарских занятий
-
Основные понятия (2 часа):
Свойства ЭФР, порядковых статистик, выборочных моментов.
-
Проверка статистических гипотез (4 часа):
Критерии, ошибки, понятие НМК, лемма
Неймана-Пирсона, построение критериев согласия.
-
Оценивание параметров (8 часов):
Метод моментов и максимального правдоподобия, сравнение оценок
в соответствии со среднеквадратическим подходом, асимптотически нормальные
оценки и асимптотический подход к сравнению оценок, эффективные оценки,
неравенство Рао-Крамера.
-
Доверительные интервалы (2 часа):
Построение точных и асимптотических
доверительных интервалов.
Литература
- 1.
- Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
- 2.
- Колемаев В. А., Калинина В. Н.
Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1997.
- 3.
- Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика
и основы эконометрики. М., 1998.
- 4.
- Коршунов Д. А., Чернова Н. И. Сборник задач и упражнений по
математической статистике. Новосибирск. 2001.
Способ получения оценки по математической статистике
Контрольная 1 — после
трех семинарских занятий.
Получившим 2 и менее баллов следует
сдать прорешанную дома контрольную работу.
Контрольная 2 — после шести
семинарских занятий. Получившим 2 и менее баллов следует
сдать прорешанную дома контрольную работу.
Расчетное задание сдается по мере изучения
соответствующих тем на лекциях.
Задание состоит из двух частей. Каждая часть защищается устно.
Защита расчетного задания или его части подразумевает умение студента сформулировать
основные определения и утверждения по соответствующей части курса.
Сдача расчетного задания и отсутствие долгов по контрольным работам
— необходимое и достаточное условие допуска к дифференцированному зачету.
Студент, выполнивший все оговоренные выше действия в срок,
может получить автоматом наибольшую из оценок, не превышающих
среднего арифметического его оценок за контрольные работы + 1 балл.
Студент, не уложившийся в указанные сроки, лишается права получить оценку
автоматом.
Студент, имеющий право на автомат, сохраняет это право в любом случае, в т.ч.
после попытки сдачи дифференцированного зачета.
Дифференцированный зачет проводится в форме письменного экзамена
в конце декабря. В билете —
теоретический вопрос, пример из лекций и задача. Оценка, вообще говоря, ограничивается
средним арифметическим оценок за контрольные работы + 2 балла.
Студенты, не сдавшие к концу декабря
расчетное задание или не отчитавшиеся по контрольным работам, получают оценку
«неудовлетворительно».
Пересдача дифференцированного зачета состоится в конце января.
Студенты 3 курса, повторно изучающие математическую статистику!
Повторное обучение предполагает повторное изучение предмета с начала и
до конца. Никакие оценки прошлого года приняты во внимание не будут. Ждем
вас на лекциях, семинарских занятиях, контрольных работах. Не забудьте получить
новое расчетное задание!
