Несколько слов о геометрически самоподобных фракталах |
Предлагаемые Вашему вниманию картинки есть стилизованные изображения двупорожденных геометрически самоподобных фракталов - инвариантных множеств пары линейных отображений плоскости. Заметим сразу, что данный класс множеств есть лишь малая часть всего класса фрактальных множеств (то есть множеств дробной хаусдорфовой размерности). |
Фракталы изучают все, кому не лень - и физики, и математики,
и химики, и компьютерщики.
По большому счету, все сложные системы обладают теми или иными свойствами самоподобия, что позволяет изучать эти системы, не анализируя каждый элемент в отдельности, а лишь зная законы взаимосвязи элементов системы. Заметим, что точно то же самое (с заменой слова "самоподобие" на слово "случайность") часто говорится в объяснение широкого распространения вероятностных методов. Неудивительно, что и в исследовании (геометрически самоподобных) фракталов часто используют теорию случайных процессов и прочие сугубо вероятностные вещи. |
Опишем вкратце, что такое двупорожденные геометрически самоподобные
фракталы.
Рассмотрим два линейных отображения комплексной плоскости: и где - комплексные числа и У каждого из этих отображений есть неподвижная точка. Эти точки и находятся из уравнений Геометрический смысл отображения - композиция сжатия с коэффициентом и поворота на угол относительно неподвижной точки Аналогичный смысл имеет отображение Инвариантным множеством системы отображений называется компактное множество такое, что Такое множество может иметь дробную (fractal) хаусдорфову размерность и быть достаточно сложно устроено. Замечательно, что с точностью до размера, это множество полностью определяется числами то есть всего лишь восемью действительными числами. |
Наиболее простая (но не наиболее эффективная)
схема построения инвариантного множества такова: положим и т.д. Тогда |