Вопросы к экзамену по курсу

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

осенний семестр 2024 г.

  1. Дискретные цепи Маркова: определения, основные свойства, примеры.
  2. Независимость «прошлого» и «будущего» при фиксированном «настоящем».
  3. Матрица переходных вероятностей, её свойства. Уравнение Колмогорова – Чепмена.
  4. Классификация состояний.
  5. Критерий возвратности состояний.
  6. Теорема о числе возвращений в возвратное/невозвратное состояние.
  7. Свойства моментов возвращения в возвратное состояние.
  8. Теорема солидарности.
  9. Теорема о стационарном распределении.
  10. Условные математические ожидания: определение, существование и единственность, основные свойства.
  11. Теоремы о предельном переходе под знаком условного математического ожидания.
  12. Мартингалы, субмартингалы и супермартингалы: определения, основные свойства, примеры.
  13. Мартингал-разность, связь с мартингалами. Свойства L2-мартингалов и мартингал-разностей.
  14. Разложение Дуба.
  15. Моменты остановки: определение, основные свойства. Момент первого попадания в борелевское множество.
  16. Сигма-алгебра ℱτ: определение и свойства.
  17. Стохастическая последовательность, остановленная в случайный момент времени. Остановленные мартингалы.
  18. Теоремы об оптимальной остановке.
  19. Основные неравенства для мартингалов и субмартингалов.
  20. Неравенство Дуба для числа пересечений полосы.
  21. Основная теорема сходимости субмартингалов.
  22. Равномерная интегрируемость: определение и основные свойства.
  23. Основная теорема сходимости для равномерно интегрируемых последовательностей.
  24. Равномерно интегрируемые мартингалы.
  25. Ветвящиеся процессы: определение. Производящие функции: основные свойства. Производящая функция ветвящегося процесса.
  26. Вероятность вырождения.
  27. Математическое ожидание и дисперсия ветвящегося процесса.
  28. Предельные теоремы.
  29. Общее число частиц в ветвящемся процессе.

Литература


  1. Бакланов Е. А. Дополнительные главы теории вероятностей. Новосибирск: НГУ, 2014.
  2. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
  3. Ватутин В. А. Ветвящиеся процессы и их применения. Лекционные курсы НОЦ. Том 8. М.: МИАН, 2008.
  4. Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х т. - М.: МЦНМО, 2004.
  5. Norris, J. R. Markov Chains. Cambridge University Press, Cambridge. 1997.


Лектор – к.ф.-м.н. Е. А. Бакланов

Flag Counter