Программа

по теории вероятностей и математической статистике
для студентов-биологов (4-й семестр)

Часть I. Теория вероятностей.

События и вероятности.
  1. Статистическая устойчивость. Дискретное пространство элементарных исходов. События и операции над ними.
  2. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Выборки. Гипергеометричские вероятности.
  3. Геометрические вероятности. Задача о встрече.
  4. Вероятностные пространства общего вида. Аксиоматическое задание вероятности. Аксиома непрерывности. Вероятность объединения событий.
  5. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса.
  6. Независимые события. Схема Бернулли. Биномиальное и полиномиальное распределения.
  7. Распределение Пуассона. Теорема Пуассона: приближение для биномиального распределения.

    Случайные величины.
  8. Случайные величины. Функции распределений и их свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, основные типы. Преобразования случайных величин.
  9. Независимость случайных величин. Многомерные распределения, примеры. Формула свертки.
  10. Математическое ожидание и его свойства, примеры. Моменты.
  11. Дисперсия и ее свойства. Коэффициент корреляции.

    Предельные теоремы.

  12. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева.
  13. Закон больших чисел.
  14. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа. Примеры применения.

    Часть II. Математическая статистика.

    Оценки параметров.

  15. Задачи математической статистики. Выборка, гистограмма, эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли. Выборочные моменты, сходимость к теоретическим моментам.
  16. Точечные оценки неизвестных параметров, несмещенность, состоятельность. Метод моментов (ММ), состоятельность оценок ММ. Метод максимального правдоподобия. Примеры.
  17. Сравнение оценок: среднеквадратический подход. Эффективные оценки. Неравенство Рао-Крамера.
  18. Распределения, связанные с нормальным (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера). Лемма Фишера. Свойства выборок из нормальной совокупности. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.

    Проверка гипотез.

  19. Основные понятия: гипотезы, критерии, вероятности ошибок. Проверка двух простых гипотез. Сравнение критериев. Понятие состоятельности критерия.
  20. Критерии согласия Колмогорова, хи-квадрат.
  21. Сравнение двух выборок. Критерий однородности Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотез о совпадении параметров нормальных совокупностей.
  22. Модель линейной регрессии. Метод наименьших квадратов.

Литература:

1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., 1982.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1988.

3. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: НГУ, 1983.

4. Коршунов Д.А., Фосс С.Г. Сборник задач по теории вероятностей. Новосибирск,1997.

5. Сборник задач по математической статистике. Под редакцией Боровкова А.А. Новосибирск: НГУ, 1989.

 

 

 

Программу составила Скилягина Г.И.